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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Mkr"][b]Meine Frage:[/b]
Im Moment stehe ich vor einem wahrscheinlich eigentlich trivialen Problem bezüglich eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators.

[b]Aussgangssituation ist folgende:[/b]

Ein Teilchen der Masse m befindet sich in der Mitte von vier Federn mit jeweils gleicher Federkonstante k.

Die Ruhelage dieses Teilchens ist beschrieben durch:

[latex]
\vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} [/latex]

Die Aufhängepunkte der Federn lauten:
[latex]
\vec{a1} = \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} 
\vec{a2} = \begin{pmatrix} -a \\ 0\end{pmatrix} 
\vec{a3} = \begin{pmatrix} 0 \\ a\end{pmatrix} 
\vec{a4} = \begin{pmatrix} 0 \\ -a\end{pmatrix}[/latex]

Die Beiträge der einzelnen Federn zum Potential sind:
[latex]
V_{i}(x,y)= \frac{1}{2}k(l_{i}(x,y)-a)² [/latex]

Dabei ist [latex]l_{i}(x,y)[/latex] die Länge der Feder i.

[b]Gesucht ist nun:[/b]

Die Hesse-Matrix V(2) sowie die Taylor-Entwicklung von V(x,y) bis zur quadratischen Ordnung.

[b]Meine Ideen:[/b]
Zuerst muss ich aus den einzelnen Potentialen [latex]V_{i}(x,y)[/latex] das Gesamtpotential [latex]V(x,y)[/latex]. Und genau an dieser Stelle hapert es leider schon. Reicht es, wenn ich sage:

[latex]V(x,y)=V_{1}(x,y)+V_{2}(x,y)+V_{3}(x,y)+V_{4}(x,y)[/latex] ?

Irgendwie will mir der Ansatz aber nicht gefallen, da die Federn ja aus vier unterschiedlichen Richtungen auf das Teilchen wirken.

Nachdem ich das Gesamtpotential habe, muss ich es Ableiten. Da das System einen Freiheitsgrad von 2 besitzt, resultiert am Ende eine 2x2 Hesse-Matrix mit:

[latex]\begin{pmatrix} V_{xx} & V_{xy}\\ V_{yx} & V_{yy}  \end{pmatrix}[/latex]

Führe ich jedoch diese Ableitungen durch werden die Komponenten zu gewaltigen Termen, die sich mir irgendwie nicht erschließen wollen.
Setze ich dann die Ruhelage ein, so resultiert in allen Fällen immer 0. Das kann ja auch irgendwie nicht korrekt sein.

Ich vermute, dass mein Fehler schlicht und ergreifend beim Gesamtpotential liegt, ich kann ihn aber leider nicht erkennen.[/quote]

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