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[quote="Quant"]Die DGL kommt von folgender Aufgabe: Man betrachte ein Pendel auf dem Kopf, das aus einer Masse m am oberen Ende eines masselosen Stabes der Länge l besteht. Das untere Ende des Stabes möge vertikal pszillieren, wobei seine Position gegeben sei durch y(t)= A cos(w t) ( A<< l ). Wenn w groß ist und das Pendel zu Beginn nahezu senktecht kopfüber steht, dann fällt es überraschenderweise nicht um. Stattdessen wird es um die Ausgangsposition "schwingen". Man bestimmt die Bewegungsgleichung für Teta ( das ist unsere Pendels). Außer dem bestimmt man die Frequenz der Vor- und Zurückbewegung des Pedels. Grüße[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jul 2011 07:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So Mitstreiter! <br /> <br />Um das ganze hier mal aufzulösen der Link zur analytischen Musterlösung der oben gestellten Aufgabe! <br /> <br /><a href="http://www.physics.harvard.edu/academics/undergrad/probweek/sol67.pdf" target="_blank" class="postlink">http://www.physics.harvard.edu/academics/undergrad/probweek/sol67.pdf</a> <br /> <br />Da ich da jedoch nie im Leben drauf gekommen wäre (Vom scharfen Hinsehen und dem damit verbundenen "herauslesen" des Funktionsgraphen von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vartheta "> aus der DGL mal ganz zu schweigen) habe ich das ganze einfach mit Excel numerisch gelöst! Und wenn ich mal davon ausgehe, dass meine numerische Lösung genauer ist als die genäherte analytische Lösung bin ich bei einer Abweichung von ca. 20.3% auch ganz froh darüber <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br />Trotzdem danke für eure tatkräftige Mithilfe und das "Gedankenmachen"! <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Jun 2011 16:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also den Winkel habe ich genähert weil in der Aufgabenstellung schon stand "[...] fällt es überraschender Weise nicht um, sondern beginnt um die Ausgangslage zu schwingen" <br />Deswegen sah ich das mit der Schwingung mit kleinem Winkel mal als "gegeben" an. <br /> <br />Naja immerhin ist die Gleichung mittlerweile von 20 Leuten oder so bestätigt^^ <br />Das kann doch nicht wahr sein. Ich hab die Gleichung mittlerweile schon 20mal auf den Kopf gestellt ich finde einfach nichts was man noch vereinfachen/weglassen könnte... <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Jun 2011 17:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">okay differentialgleichung bekomm ich jetzt auch, habe übersehen das der Term unendlich klein zum quadrat ist. <br /> <br />wo liegt jetzt das Problem eine Symmetrie kann sich doch einstellen wenn m den höchsten Punkt erreicht genau zu der Zeit an dem die Schwingung das Auhfängepunktes den nulldurchgang hat. <br /> <br />Soweit ich weißt, verwendet man die Kleinwinkelnäherung Beim Pendel aufgrund der Taylor-Entwicklung für den sinus, mit der sich zeigt das der Fehler bei kleinen winkeln minimal ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Jun 2011 12:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">ich komme nicht auf eure Formel, denn ich habe noch einen weiteren Term drinnen. allerdings verwende ich nicht Lagrange, sonder Kraftsystem nach Dalembert <br /> <br />Eure zwei Terme bekomme ich aufgrund tangentialer Richtung. <br />Ich bekomme aber noch einen Term hinein aufgrund dessen das sich m auch in Radialer Richtung bewegt , weil sie durch die auf und ab schwingende Masse in Pendelrichtung radial Richtung beschleunigt wird, wodurch durch die Winkeländerung eine zusätzliche tangential Komponente entsteht. <br /> <br />Ich muß mir das aber nochmal näher ansehen, war nur schnell drüber geschaut.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Jun 2011 00:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Idee mit dem kleinen Auslenkungswinkel stammt vermutlich vom mathematischen Pendel. Sie ist dort durch den Energiesatz legitimiert. Im Unterschied dazu gibt es hier jedoch einen zusätzlichen äußeren Einfluß und ich sehe an dieser Stelle noch keine Begründung dafür, daß eine einmal kleine Schwingung nicht "aus dem Ruder" laufen soll. Analog vielleicht zu der von außen angeschubsten Kindersschaukel. <br /> <br />Ein zweites Problem neben <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?sin \vartheta"> ist die Angabe einer "großen" Frequenz <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega">. Man könnte mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Omega^2=\frac{g}{l}"> zwar schreiben <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{\vartheta}=\Omega^2 \cdot \left(1- \frac{A}{l} \left( \frac{\omega}{\Omega}\right)^2 cos\omega t \right)sin \vartheta"> <br />und an <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{A}{l}\ll 1"> denken. Aber wie weiter - im Sinne einer Näherung?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jun 2011 19:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hmm <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> Naja ich habe vorhin nochmal meinen Tutor/Aufgabensteller gefragt und er meinte das die Aufgabe aufjeden Fall analytisch lösbar sei. <br />Werde morgen mal bei ihm vorbei schaun und mir ein paar Tipps abholen. <br /> <br />Sollte ich zu einem Ergebnis kommen lasse ich euch das aufjeden wissen ^^ <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jun 2011 19:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich kenne eigentlich nur, dass man das Pendel durch eine <span style="text-decoration: underline">horizontale</span> periodische Bewegung stabilisiert - Daher auch meine Verwirrung. Dann hättest du bei dem Term, welcher den Antrieb beschreibt, nämlich einen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?cos(\vartheta) \approx 1"> und damit ist die Lösung der DGL auch analytisch machbar.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jun 2011 07:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Franz! <br /> <br />Das verstehe ich nicht...Das ist doch mein Ergebnis nur, dass bei dir das Minus in die Klammer reinmultipliziert ist. <br />Bzw. selbst wenn ich das Minus in meine Gleichung wieder reinmultipliziere stellt das für mich keine wesentliche Vereinfachung dar...Leider <br /> <br />Für alternative Lösungsvorschläge bin ich natürlich offen <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br />Gruß <br /> <br />//edit Achja! <br />Da die Auslenkung des Massepunktes am Anfang nur sehr klein sein soll habe ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin(\vartheta)\approx \vartheta "> bereits genähert in meiner Gleichung!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 22:09<span class="gen"> </span> Titel: Re: Lösung Differentialgleichung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Quant hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\ddot{\vartheta}=-\left( \frac{A\omega^2}{l} cos(\omega t)-\frac{g}{l} \right)\vartheta"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Diese Gleichung erfüllt nicht den Grenzfall fehlender Oszillation des Aufhängepunktes ( = normales Pendel) <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{\vartheta}-\frac{g}{l}sin \vartheta=0">, sondern setzt kleine Schwingungen schon voraus. Nach meiner Rechnung <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{\vartheta}=\left(\frac{g}{l}- \frac{A\omega^2}{l} cos\omega t \right)sin \vartheta"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 20:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo <br />Herleitung habe ich mit Lagrange gemacht. <br />Generalisierte Koordinaten: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? q_1=y(t)=A\cos(\omega t)"> und <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? q_2=\vartheta"> <br /> <br />Das führt dann auf diese DGL. Einen Fehler schließe ich jetzt mal aus, weil viele andere (unabhängig voneinader) auf das gleiche Ergebnis kommen!? <br /> <br />//edit: @Pressure der Term mit dem Cosinus ist derjenige, mit dem das Pendel angeregt wird! <br /> <br />//edit2: Anbei noch ein Bildchen zum besseren Verständnis: <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 18:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dann hast du einen Fehler bei der Herleitung der Bewegungsgleichung gemacht ! Der Term mit dem Kosinus sollte für kleine Winkel nicht mehr von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vartheta"> abhängig sein. Hast du die Bewegungsgleichung aus der Lagrange-Funktion oder manuell hergeleitet ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 17:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die DGL kommt von folgender Aufgabe: <br /> <br />Man betrachte ein Pendel auf dem Kopf, das aus einer Masse m am oberen Ende eines masselosen Stabes der Länge l besteht. Das untere Ende des Stabes möge vertikal pszillieren, wobei seine Position gegeben sei durch y(t)= A cos(w t) ( A<< l ). <br /> <br />Wenn w groß ist und das Pendel zu Beginn nahezu senktecht kopfüber steht, dann fällt es überraschenderweise nicht um. Stattdessen wird es um die Ausgangsposition "schwingen". <br />Man bestimmt die Bewegungsgleichung für Teta ( das ist unsere Pendels). Außer dem bestimmt man die Frequenz der Vor- und Zurückbewegung des Pedels. <br /> <br />Grüße</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 16:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Quant hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, die Klammern stimmen und deswegen stellen wir sie ins Forum.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das bezweifle ich zwar noch immer stark, aber hier hast du deine Lösung: <br /> <br /><a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[D[x[t]%2C+t]%2C+t]+%3D%3D+-%28%28a+Cos[%CF%89+t]+-+b%29+x[t]%29" target="_blank" class="postlink">http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[D[x[t]%2C+t]%2C+t]+%3D%3D+-%28%28a+Cos[%CF%89+t]+-+b%29+x[t]%29</a> <br /> <br />Woher kommt die Differentialgleichung und was soll sie physikalische beschreiben ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 16:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, die Klammern stimmen und deswegen stellen wir sie ins Forum.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 16:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bist du dir sicher, dass die Klammern und die Vorzeichen richtig gesetzt sind ? <br /> <br />Ansonsten: Versuch dich zunächst mal an der homogenen Lösung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Quant</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2011 16:30<span class="gen"> </span> Titel: Lösung Differentialgleichung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Brauchen Hilfe bei folgender DGL: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\ddot{\vartheta}=-\left( \frac{A\omega^2}{l} cos(\omega t)-\frac{g}{l} \right)\vartheta <br />"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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