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[quote="skylein"]Danke für die schnellen Antworten, der Prof. wollte anscheinend nur die Differentialgleichung gelöst haben. So wie das Mathewolf gezeigt hat.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>armchairastronaut</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Okt 2011 08:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nachdem das Rechnerische nun geklärt wäre, würde mich interessieren, was man in diesem Zusammenhang unter "Gleichgewichtsgeschwindigkeit" verstehen soll?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>skylein</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2011 19:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die schnellen Antworten, der Prof. wollte anscheinend nur die Differentialgleichung gelöst haben. So wie das Mathewolf gezeigt hat.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathewolf</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2011 11:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Lösung von Ethos ist zwar richtig, aber mathematisch etwas schwammig. <br /> <br />Die Lösung der Differentialgleichung 1. Ordnung erfolgt mittels Trennung der Variablen und anschließend beidseitiger Integration. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\,\frac{dv}{dt}=-\beta v\ \Leftrightarrow\ \frac{dv}v = -\frac{\beta}m\,dt"> <br /> <br />Integration auf beiden Seiten ergibt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits_{v_0}^v\frac{dv'}{v'} = -\frac{\beta}m\int\limits_0^t dt'"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ln\left|\frac{v}{v_0}\right|=-\frac{\beta}m\,t\ \Leftrightarrow\ v=v_0\,e^{-\frac{\beta}m\,t}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Ehos</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2011 08:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zu lösen ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot x+\beta \dot x=0"> mit der Masse <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m=0,5 kg">, dem Reibungskoeffizienten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta=2 \cdot 10^{-5}\tfrac{kg}{s}"> und der Anfangsgeschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_0=1,5 \tfrac{m}{s}">. (Die Einheit von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta"> ergibt sich aus dem Kontext.) <br /> <br />Diese Dgl. tritt auf, wenn ein Körper mit einer gewissen Anfangsgescnwindigkeit durch eine geschwindigkeitsproportionale Reibung gebremst wird, wobei keine weiteren Kräfte wirken. <br /> <br />Wir wandeln die Dgl. 2.Ordung in eine Dgl. 1.Ordung um, indem wir die Substitution <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot x=v"> durchführen, woraus durch Ableiten folgt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot x=\dot v">. Einsetzen ergibt die neue Dgl. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \dot v+\beta v=0">, deren allg. Lösung offenbar lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v(t)=C\cdot exp \left ( -\tfrac{\beta}{m}\cdot t\right )"> <br /> <br />Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Anfangsgeschwindigkeit. Bei t=0 soll die Geschwindigkeit nämlich den Wert gelten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_0"> haben, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_0=C\cdot \underbrace{exp \left ( -\tfrac{\beta}{m}\cdot 0\right )}_{=1}">. <br /> <br />Daraus folgt<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C=v_0">. Einsetzen in die Lösung ergibt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v(t)=v_0\cdot exp \left ( -\tfrac{\beta}{m}\cdot t\right )"> <br /> <br />Die Anfangsgeschwindigkeit nimmt also exponentiell ab und strebt gegen Null.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>-</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2011 06:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dass Beta auch eine Einheit haben muss, ist natürlich richtig. Ansonsten scheint es sich um Reibung proportional zur Geschwindigkeit (z.B. Stokessche Reibung) zu handeln. Ohne Beschleunigung auf den Apfel wird sich jedoch keine Gleichgewichtsgeschwindigkeit des Apfels einstellen, sondern dessen Geschwindigkeit schlicht expoentiell abnehmen. <br /> <br />Ist die Aufgabe vollständig wiedergegeben?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>armchairastronaut</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2011 05:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Welche Geschwindigkeiten da im Gleichgewicht bleiben sollen, ist mir auch nicht klar. Abgesehen davon, dass 0,5kg für einen Apfel ziemlich viel und für einen Kopf ziemlich wenig ist, will sich mir auch die Interpretaton von beta nicht so recht erschließen. Du hast zwar keine Einheiten angegeben, aber beta müsste sowas wie "kg/s" sein. Das ist mit leider´auch nicht geläufig...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>skylein</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2011 19:56<span class="gen"> </span> Titel: Differentialgleichung mx'' = - beta x'</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hi<br /><br />Habe in der Übung die Aufgabe gestellt bekommen aus folgender Dgl<br />die sog. "Gleichgewichtsgeschwindigkeit" zu bestimmen. <br /><br />Situation:<br />An Board der ISS wirft ein Astronaut dem anderen einen Apfel an den Kopf.<br /><br />mx''= -(beta)*x' -> mv' = -(beta)*v<br /><br />beta = 2* 10^-5<br />v0 = 1,5 m/s<br />m = 0,5kg<br /><br />Könnte mir vlt. jemand einen Tipp geben, was mit dieser Geschwindigkeit gemeint ist?<br />Vielen Dank im Voraus<br /><br /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ebenso Bestandteil der Aufgabe war die Lösung der Dgl. zu bestimmen, was aber für mich jetzt eher kein Problem darstellt.<br />Weiß aber nicht ob das weiterhilft.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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