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[quote="TomS"]Fangen wir mit einem Ortsvektor [b]r[/b](t) an. Dieser bezeichnet den Ort [b]r[/b] zur Zeit t. D.h. [b]r[/b](t) ist sozusagen eine Bahnkurve. [b]v[/b](t) bezeichnet dann die Geschwindigkeit [b]v[/b] zum Zeitpunkt t. Es gilt [latex]\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}[/latex] und damit entspricht [b]v[/b](t) zu jedem Zeitpunkt t einer Tangentne an die Bahnkurve[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Apr 2012 23:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe versucht, das koordinatenfrei zu formulieren, aber der Anschaulichkeit halber an einem konkreten Beispiel mit Koordinaten. <br /> <br />Betrachten wir eine Kreisbahn mit i. A. <span style="text-decoration: underline">variabler</span> Winkelgeschwindigkeit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r} = r_0\begin{pmatrix}\cos\phi \\ \sin\phi \end{pmatrix}"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = \dot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}"> <br /> <br />Nun berechnen wir die Bahngeschwindigkeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = r_0\,\dot{\phi}\,\begin{pmatrix}-\sin\phi \\ \cos\phi \end{pmatrix}"> <br /> <br />Zunächst ist der Betrag des Ortsvektors bei einer Kreisbahn um den Ursprung konstant: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r}| = r_0 "> <br /> <br />Bei variabler Winkelgeschwindigkeit variiert jedoch der Betrag der Bahngeschwindigkeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{v}| = r_0\,|\dot{\phi}| "> <br /> <br />Speziell im Falle einer Kreisbahn stehen Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor senkrecht aufeinander <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}\,\vec{v} = 0"> <br /> <br />Man sieht dies entweder wie folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}\,\vec{v} = \vec{r}\,\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\,(\vec{r}\,\vec{r}) = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\,|\vec{r}|^2 = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\,r_0^2 = 0"> <br /> <br />oder natürlich durch explizites Ausmultiplizieren der beiden oben angegeben Vektoren. <br /> <br />Das ist jedoch ein Spezialfall bei Kreisbahnen; i.A. gilt nur, dass die Richtung des Geschwindigkeitsvektors tangential zur Bahnkurve ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Musikbox</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Apr 2012 16:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dankeschön TomS, das ist mir ganz neu <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /> <br /> <br />Darf ich das kurz in eigenen Worten widergeben, damit ich gucken kann ob ichs verstanden habe? Also man hat eine Kurve r(t), ist die in Parameterform (oder wie das heißt) (weil beim Anfang der Kurve links ein x auf mehrere abgebildet wird)? Sowas haben wir noch gar nicht gemacht, ich kenne das nur von einem Kumpel, der studiert u.a. Physik. Aber dürfte nich so schwierig sein, oder? <br /> <br />Hast du mir ein kronkretes Beispiel? Das wäre echt nett...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Apr 2012 16:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Fangen wir mit einem Ortsvektor <span style="font-weight: bold">r</span>(t) an. Dieser bezeichnet den Ort <span style="font-weight: bold">r</span> zur Zeit t. D.h. <span style="font-weight: bold">r</span>(t) ist sozusagen eine Bahnkurve. <span style="font-weight: bold">v</span>(t) bezeichnet dann die Geschwindigkeit <span style="font-weight: bold">v</span> zum Zeitpunkt t. Es gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}"> <br /> <br />und damit entspricht <span style="font-weight: bold">v</span>(t) zu jedem Zeitpunkt t einer Tangentne an die Bahnkurve</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Musikbox</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Apr 2012 16:08<span class="gen"> </span> Titel: Geschwindigkeitsvektor</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hi, was ist ein Geschwindigkeitsvektor ode rallgemein ein gerichteter Vektor? Ich verstehe das nicht ganz.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Der hat irgendwie mehr als nur eine Aussage, irgendiwe gibt er eine Richtung an und dann hat er noch eine größe oder Betrag oder so etwas das ist in meinem Buch einfach nicht erklärt :'(</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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