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[quote="Nima93"]Ich stell mich wahrscheinlich grad ziemlich doof an, aber ich verstehe das mit dem Inversen immer noch nicht so ganz. Kann ich eine Drehmatrix nicht einfach durch multiplikation auf eine andere Matrix anwenden? Bei Vektoren geht das doch auch? (sry, bin noch nicht so vertraut mit LA)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 14:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Natürlich wendest du die Drehmatrix ohne Invertierung o.ä. auf einen Vektor an. <br /> <br />Hier wendest du jedoch zunächst <span style="text-decoration: underline">keine</span> Drehung an, sondern du schiebst einfach eine Eins ein: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1 = D^{-1}D"> <br /> <br />Erst <span style="text-decoration: underline">anschließend</span> interpretierst du das rechte D als Drehung, angewandt auf x. Das ist eine Basistransformation. <br /> <br />Um nun auch die Matrix A bzgl. der neuen Basis darstellen zu können, berechnest du <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A^\prime = D\,A\;D^{-1}"> <br /> <br />Der Formalismus sagt dir also, dass wenn du D als Drehung eines Vektors x auffassen möchtest, wie du dann eine Matrix A zu "drehen" hast - und da brauchst du einfach die beiden Drehmatrizen rechts und links von A.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nima93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 13:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich stell mich wahrscheinlich grad ziemlich doof an, aber ich verstehe das mit dem Inversen immer noch nicht so ganz. Kann ich eine Drehmatrix nicht einfach durch multiplikation auf eine andere Matrix anwenden? Bei Vektoren geht das doch auch? <br />(sry, bin noch nicht so vertraut mit LA)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 11:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Deswegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A-\lambda)x = 0\;\to\;D\,(A-\lambda)D^{-1}\,D\,x = 0"> <br /> <br />A ist nicht diagonal, A' dagegen schon. Die Gleichung muss eben transformiert werden - und die o.g. Trf. ist genau die richtige. Und nur mit einer derartigen Trf. kannst du Matrizen i.A. überhaupt diagonalisieren!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nima93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2012 10:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo und danke erstmal! <br />Das mit der Rückdrehung war quatsch, das seh ich ein, dafür stimmt die Reihenfolge ja nicht... <br />Aber ich verstehe trotzdem noch nicht ganz, wozu die inverse Matrix der Drehmatrix am Ende noch dranmultipliziert wird...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2012 10:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, das "Rückgängigmachen" der Drehung sieht anders aus: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x\;\to\; x^\prime = D^{-1}\,D\,x = 1\,\cdot\,x = x"> <br /> <br />Hier handelt es sich aber um ein Eigenwertproblem <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A-\lambda)x = 0"> <br /> <br />Nun führst du eine Diagonalisierung (mit der zunächst unbekannten) Matrix D aus, d.h. zunächst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A-\lambda)x = 0\;\to\;D\,(A-\lambda)D^{-1}\,D\,x = 0"> <br /> <br />Das darfst du tun, weil sich die Drehungen vor dem x wegheben und weil das D ganz links sowieso nur noch auf den Nullvektor wirkt. <br /> <br />Nun führst du aber eine neue Bezeichnung ein, nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A\;\to\; A^\prime = D\,A\,D^{-1} "> <br /> <br />Da D nicht mit A vertauscht, sind A und A’ nicht identisch! Beim Eigenwert ist das anders, dieser ändert sich nicht. Außerdem führst du noch ein x’ ein <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x\;\to\; x^\prime = D\,x "> <br /> <br />und erhältst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A^\prime-\lambda)x^\prime = 0 "> <br /> <br />d.h. durch die Drehung änderst du A sowie x, nicht jedoch die Eigenwerte und damit auch nicht das Eigenwertproblem an sich. Es handelt sich letztlich um eine Basistransformation. <br /> <br />A und A’ sind jedoch unterschiedliche Matrizen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nima93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2012 10:03<span class="gen"> </span> Titel: Eigenwertproblem</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo,<br />hab ne kleine Frage bezüglich einer Schreibweise zum Eigenwertproblem... Dachte, ich schreib das mal hier rein, weil das bei gekoppelten DGL wichtig ist... <br />Mein Ziel ist es ja, eine Matrix A so umzuformen, dass sie nur noch auf der Hauptdiagonalen Elemente ungleich 0 hat. Jetzt steht dazu aber in meinem Buch:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A' = D\cdot A\cdot D^T = \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda _2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} "><br /><br />Ich verstehe das aber nicht so ganz: Wenn ich eine Matrix zuerst mit einer Drehmatrix und danach mit der transformierten Drehmatrix multipliziere, mache ich die Drehung doch rückgängig und es passiert überhaupt nichts? Wenn man die transformierte Drehmatrix weglassen würde, wäre mir die Gleichung klar, aber so leider nicht.<br />Wäre schön, wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen könnte <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /><br />viele Grüße<br />Nima93<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />:/</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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