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[quote="Poldi90"][b]Meine Frage:[/b] Hallo :) Ich habe eine Aufgabe, die ich nicht wirklich verstehe. Es geht um Eichfreiheit eines räumlich konstanten Magnetfeldes [latex] \vec{B} [/latex]. Zunächst soll ich zeigen, dass das konstante Magnetfeld [latex] \vec{B} [/latex] aus dem Vektorpotential [latex] \vec{A}_1 (\vec{r}) = \frac{1}{2} \vec{B} X \vec{r} [/latex] gewonnen werden kann. Wobei [latex] X [/latex] hier das Kreuzprodukt ist. [b]Meine Ideen:[/b] Ich kenne die Formel zur Bestimmung eines Magnetfeldes [latex] \vec{B}= nabla X \vec{A} [/latex] und weiß, dass sie nur bis auf einen Gradienten [latex] nabla \lambda [/latex] eindeutig bestimmt ist, wobei [latex] \lambda [/latex] eine beliebige skalare Funktion ist. Ich weiß nicht, was ich unter Eichfreiheit zu verstehen habe. Vielleicht kann mit ja jemand sagen, wie ich den ersten Schritt machen kann. :)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 12:49<span class="gen"> </span> Titel: Re: Eichfreiheit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zunächst mal sollst du zeigen, dass der (für diesen einen speziellen Fall gewählte) Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{A} = \frac{1}{2} \vec{B} \times \vec{r}"> <br /> <br />auf das korrekte B-Feld führt. <br /> <br />Es gilt immer <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} = \nabla \times \vec{A} "> <br /> <br />d.h. man kann immer ein geeignetes A finden, so dass sich B mittels dieser Formel daraus herleiten lässt. <br /> <br />Du prüfst den obigen Ansatz nach, in dem du ihn in diese allgemeine Formel einsetzt, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \stackrel{!}{=} \nabla \times \left( \frac{1}{2} \vec{B} \times \vec{r}\right) = \frac{1}{2} \nabla \times \left(\vec{B} \times \vec{r}\right)"> <br /> <br />Den letztern Term musst du nun mittels der Rechenregeln für den Nablaoperator soweit umformen, bis zu zeigen kannst, dass das Ergebnis wieder B lautet. <br /> <br />Einige Rechenregeln findest du hier: <br /> <br /><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator#Rechenregeln" target="_blank">http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator#Rechenregeln</a> <br /> <br />Nun zur Frage der Eichfreiheit: die Darstellung des Magnetfeldes B mittels eines Vektorpotentials A ist nicht eindeutig. Das sieht man, in dem man einen Gradienten einer Eichfunktion lambda zu A addiert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{A} \to {}^\lambda\! \vec{A} = \vec{A} + \nabla \lambda "> <br /> <br />Diese sogenannte Eichtransformation ändert das Magnetfeld nicht, da <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \to {}^\lambda\! \vec{B} = \nabla \times {}^\lambda\! \vec{A} = \nabla \times \left(\vec{A} + \nabla \lambda \right) "> <br /> <br />Du kannst nachprüfen, dass der zweite Term auf der rechten Seite gemäß den Rechenregeln für den Nablaoperator verschwindet, d.h. dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} = {}^\lambda\! \vec{B} "> <br /> <br />gilt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Poldi90</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2012 12:18<span class="gen"> </span> Titel: Eichfreiheit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo :)<br /><br />Ich habe eine Aufgabe, die ich nicht wirklich verstehe. Es geht um Eichfreiheit eines räumlich konstanten Magnetfeldes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} ">.<br /><br />Zunächst soll ich zeigen, dass das konstante Magnetfeld <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} "> aus dem Vektorpotential <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{A}_1 (\vec{r}) = \frac{1}{2} \vec{B} X \vec{r} "> gewonnen werden kann. Wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? X "> hier das Kreuzprodukt ist.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich kenne die Formel zur Bestimmung eines Magnetfeldes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B}= nabla X \vec{A} "> und weiß, dass sie nur bis auf einen Gradienten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? nabla \lambda "> eindeutig bestimmt ist, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \lambda "> eine beliebige skalare Funktion ist.<br /><br />Ich weiß nicht, was ich unter Eichfreiheit zu verstehen habe. Vielleicht kann mit ja jemand sagen, wie ich den ersten Schritt machen kann. <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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