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[quote="John K."]Hallo, Ich habe eine Frage zu der Diagonalisierung des Trägheitstensors.

Gegeben sei folgender Trägheitstensor (Einheiten habe ich der Übersicht halber vernachlässigt):

[latex]$ I_{ij}= \begin{pmatrix} 40 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & -16 \\ 0 & -16 & 24  \end{pmatrix} $[/latex]

Dieser soll diagonalisiert werden:

1) Finde Eigenwerte(über die Nullstellen des charakteristische Polynom):
[latex]$ det \left( \begin{pmatrix} 40 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 24 - \lambda & -16 \\ 0 & -16  & 24 - \lambda  \end{pmatrix}\right) $[/latex]

[latex]$= (40 - \lambda) (24-\lambda)^2 - (40 - \lambda) (-16)^2$ [/latex]

Also ist ein Eigenwert:

[latex]$\lambda_1 = 40$[/latex]

Den zweiten Eigenwert erhält man wie folgt:

[latex]$(24- \lambda)^2 - (-16)^2 = 0$[/latex]

[latex]$24^2 -48 \lambda + {\lambda}^2 - 16^2 = 0$ [/latex]

[latex]$320 - 48 \lambda + {\lambda}^2 = 0$[/latex]

[latex]$\lambda_2 = \frac{48+ \sqrt{48^2 - 4 \cdot 320}}{2} = 40$[/latex]

[latex]$\lambda_3 = \frac{48- \sqrt{48^2 - 4 \cdot 320}}{2} = 8$[/latex][/latex]

Daraus ergeben sich folgende Eigenräume zu den entsprechenden Eigenwerten:

[latex]$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ -b \end{pmatrix} $[/latex] mit a,b beliebig aus den reellen Zahlen.

[latex]$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ -b \end{pmatrix} $[/latex] mit a,b beliebig aus den reellen Zahlen.

[latex]$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ b \end{pmatrix} $[/latex] mit b beliebig aus den reellen Zahlen.

Hier stellt sich meine erste Frage: Welche Vektoren aus den Eigenräumen, muss ich nehmen? Müssen die von mir ausgewählten Vektoren, die dann die Hauptträgheitsachsen sind, so gewählt sein, dass sie orthogonal sind ?

Ich würde mich sehr freuen, falls mir jemand weiterhelfen könnte.

Mfg John[/quote]

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