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[quote="Nighel123"]Aha! macht er dann bei dem Wegstück (0,1) zu (1,1) nicht sogar einen Fehler? Weil da wäre des Wegstück doch gegen mit: [latex]\gamma_3(t)=(t,1)[/latex] und dann fällt im Skalaprodukt die y Komponente gar nicht weg wie sie es bei ihm tut, sondern ist gleich 2t-1. Und dann habe ich noch eine Frage: Bei der Parametrisierung denke ich mir ja irgendeinen Weg aus. sagen wir mal ich nehme jetzt: [latex]\gamma(t)=(t,t^3)[/latex] dann setze ich ja jetzt für das Kraftfeld was oben angegeben war einfach die x Komponente für x ein und die y Komponente für y. Heißt das ich verzerre das Kraftfeld so, dass die Kurve eigentlich gerade durchläuft? Oder wie ist das zu verstehen? Gruß Nickel[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MI</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2012 08:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Noch mal genau hinschauen: Das Skalarprodukt ist mit der Ableitung des Weges (wenn man schneller durch den Weg rauscht, dann muss das gewichtet werden) - die Ableitung der Konstanten verschwindet aber! <br /> <br />Zur Verständnisfrage: <br />Ein Weg ist ja im Grunde etwas eindimensionales. Genauer ist ein Weg eine Funktion, die die reelle Achse (oder ein Teilintervall) in den IR^n abbildet - in unserem Fall stückweise differenzierbar. <br />Was die Formel jetzt eigentlich aussagt ist, dass du den Weg quasi auf den eindimensionalen Fall "zurückziehst". Vielleicht kann man sich das wirklich so vorstellen, als ob du das Vektorfeld "verzerrst" und dann nur noch einen geraden Weg hast und dies geschieht eben, indem du den Raum wechselst. Anstatt hier auf dem IR^2 einen Weg zu benutzen, hast du nur noch einen Weg mit zwei Endpunkten in IR. <br /> <br />Das lässt sich schöner in der Sprache der Differentialgeometrie ausdrücken: Eine solche Operation läuft da unter dem Namen "Pullback". <br /> <br />Gruß <br />MI</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nighel123</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2012 00:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aha! macht er dann bei dem Wegstück (0,1) zu (1,1) nicht sogar einen Fehler? Weil da wäre des Wegstück doch gegen mit: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_3(t)=(t,1)"> und dann fällt im Skalaprodukt die y Komponente gar nicht weg wie sie es bei ihm tut, sondern ist gleich 2t-1. <br /> <br />Und dann habe ich noch eine Frage: <br /> <br />Bei der Parametrisierung denke ich mir ja irgendeinen Weg aus. sagen wir mal ich nehme jetzt: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma(t)=(t,t^3)"> dann setze ich ja jetzt für das Kraftfeld was oben angegeben war einfach die x Komponente für x ein und die y Komponente für y. Heißt das ich verzerre das Kraftfeld so, dass die Kurve eigentlich gerade durchläuft? Oder wie ist das zu verstehen? <br /> <br />Gruß Nickel</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Packo</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2012 18:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">MI hat dies perfekt erklärt. <br />Die Schreibweise der Integralgrenzen mit zweifachen Koordinaten ist schlichter Unsinn. Allerdings ist es zulässig die Parameter auch mal x und y anstatt t zu nennen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MI</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2012 17:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">franz hat ja schon erwähnt, dass grundsätzlich die Rechnung nicht falsch ist. Irritierend ist hier in der Tat die Schreibweise. <br />Persönlich würde ich eine solche Schreibweise nicht verwenden, ich bin mir gerade auch nicht sicher, ob sie wirklich außerhalb des hier skizzierten Spezialfalls funktioniert (müsste ich durchrechnen) - vermutlich ist sie schlicht falsch. <br /> <br />Wir haben hier einen Weg, nämlich den um das Quadrat (0,0) bis (1,1) entgegen dem Uhrzeigersinn. <br />Bezeichnen wir diesen Weg mal mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma">. <br />Der Weg besteht aus vier Teilstücken, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_i"> mit i=1,2,3,4, wobei das genau die gerade Verbindung zwischen jeweils zwei Grenzen deiner Integrale sein soll. <br /> <br />Wir können also zunächst schreiben (dabei bezeichnet ds das Kurvenelement): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\gamma} \vec{F}\cdot \mathrm{d}s=\sum_{i=1}^4 \int_{\gamma_i} \vec{F}\cdot \mathrm{d}s">. <br /> <br />So, und jetzt müssen wir den Weg parametrisieren. Die einfachste Form - hier mal für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_1">, also den Weg zwischen (0,0) und (1,0): <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_1: [0,1]\to\mathbb{R}^2; \gamma_1(t):=(t,0)"> <br />Und dann kann man die Definition (!) des Kurvenintegrals verwenden: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\gamma_1}\vec{F}\cdot \mathrm{d}s=\int_0^1 \vec{F}(\gamma_1(t))\cdot \gamma_1^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t"> <br /> <br />----- <br /> <br />Was dein Freund macht, er macht so etwas ähnliches, allerdings eben nur fast. Aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathrm{d}s"> macht er entweder <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathrm{d}x"> oder <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathrm{d}y">. Im Grunde nimmt er die einfachste Parametrisierung und führt das Skalarprodukt, was ich da oben angesprochen habe, aus. Er führt also den Teil <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cdot \gamma_1^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t"> aus, wobei er die Variable wieder <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x"> nennt (legitim), setzt aber nicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_1(t)"> in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{F}"> ein, sondern lässt das in den Grenzen. <br /> <br />Gruß <br />MI</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Nighel123</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2012 14:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">sry versteh das noch nicht ganz mit Rotation unso... <br /> <br />also wenn ich jetzt einen Weg gehe der parallel zur x-Achse ist, dann fällt der y-Kraftanteil des Feldes weg? Ist das so? Die Kraft die auf einen Punkt der entlängs eine Funktion läuft hängt davon ab, welche Steigung der Funktion an diesem Punkt herrscht. Oder anders gesagt, aus welcher Richtung er kommt. Ist das so bei Kraftfeldern? <br /> <br />Gruß Nickel</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2012 09:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Rotation des Feldes ist konstant und verschieden null, also müßte nach dem Satz von Stokes das Ringintegral um beliebige endliche Flächen auch verschieden null sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Wie.funktioniert.es</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2012 05:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">kann man so etwas lösen wenn man x,y von 0,0 bis 4,4 dann von 4,4 zu 3,2 und zurück auf 0,0 integriert und alles addiert? <br /> <br />Weil da hat man ja 2 unterschiedliche Wege, zum selben Ziel.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2012 05:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathrm{rot} \vec F=2\vec e_x - \vec e_y\ne \vec 0"> <br />und den Vorschlag oben kann man durchaus nehmen <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits_{(0,0)}^{(1,0)}(x-y)\;dx+\int\limits_{(1,0)}^{(1,1)}(2x-y)\;dy+\int\limits_{(1,1)}^{(0,1)}(x-y)\;dx+\int\limits_{(1,0)}^{(0,0)}(2x-y)\;dy"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />muß aber noch x und y(x) für das jeweilige Kurvenstück einsetzten <br />a) y = 0 <br />b) x = 1 <br />c) y = 1 <br />d) x = 0 <br />Was zu einem Ergebnis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ne 0"> führen müßte (3,5?).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Wie.funktioniert.es</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2012 04:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">funktioniert mein vorschlag mit 0-1 und dann 1-0 integrieren??? <br /> <br />leider war bei der regestrierung kein platz mehr für das nicht <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>mr.whoopee</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2012 04:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">An "Wie.funktioniert.es" oder in diesem Fall wohl besser an "Wie.funktioniert.es.<span style="font-weight: bold">nicht</span>" :-) <br /> <br />schöner Link, aber leider nur mit teilweise richtigen Inhalt. <br />Die Rotation des Vektorfeldes ist nur "scheinbar" Null da es sich hierbei um keinen einfach zusammenhängenden Bereich handelt folgt aus rot=0 <span style="font-weight: bold">nicht</span> Weginteral gleich wegunabhängig. <br />(Der Bereich ist aufgrund der Definitionslücke im Ursprung nicht einfach zusammenhängend)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Wie.funktioniert.es</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2012 03:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">berechne es doch einfach mit der Rotation <br /> <br />rot F(x,y)=0 => konservatives Kraftfeld <br /> <br />da steht wie es geht, etwas weiter unten <br /> <br /><a href="http://www.onlinemathe.de/forum/Rotation-berechnen-konservatives-Kraftfeld" target="_blank">http://www.onlinemathe.de/forum/Rotation-berechnen-konservatives-Kraftfeld</a> <br /> <br /> <br />oh, das ist ja offenbar nicht gewünsch. <br /> <br />du kannst doch einfach von 0-1 und dann von 1-0 integrieren und addieren, aber da kommt dann immer 0 heraus. <br /> <br />so weit ich weiß sind nicht konservative kraftfelder meist so sinus sachen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nighel123</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Sep 2012 23:52<span class="gen"> </span> Titel: Kraftfeld Wegintegration</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Moin, <br /> <br />wir haben die Aufgabe: <br /> <br />Gegeben sei das Kraftfeld <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec F=\left(x-y\right)\vec e_x+\left(2x-y\right)\vec e_y">. Entscheiden Sie anhand einer geeigneten Wegintegration, ob dieses Kraftfeld konservativ ist. <br /> <br />bekommen. <br /> <br />Ich habe von einem Freund folgende Lösung dafür bekommen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\limits_{(0,0)}^{(1,0)}x-y\;dx+\int\limits_{(1,0)}^{(1,1)}2x-y\;dy+\int\limits_{(1,1)}^{(0,1)}x-y\;dx+\int\limits_{(1,0)}^{(0,0)}2x-y\;dy"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left[\frac{1}{2}x^2-xy\right]_{(0,0)}^{(1,0)}+\left[2xy-\frac{1}{2}y^2\right]_{(1,0)}^{(1,1)}+\left[\frac{1}{2}x^2-xy\right]^{(0,1)}_{(1,1)}+\left[2xy-\frac{1}{2}y^2\right]^{(0,0)}_{(0,1)}"> <br /> <br />was mich verwirrt ist, dass bei einem Einfach Integral zweidimensionale Koordinaten verwendet werden. Darf man das weil immer die Komponente über die nicht integriert wird konstant bleibt? <br /> <br />Gruß Nickel</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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