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[quote="TomS"]Man betrachte das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit innerem Radius r und äußerem Radius R. Das Trägheitsmoment lautet zunächst [latex]J = \frac{\pi}{2}\rho h(R^4 - r^4)[/latex] Wobei einfach die Trägheitsmomente zweier Vollzylinder subtrahiert werden. Nun variiert man r zwischen r=0 ( Vollzylinder) und r=R ( Zylindermantel). Dabei soll jedoch M konstant bleiben, d.h. für wachsendes r muss die Massendichte zunehmen: [latex]M = \rho V = \pi \rho h (R^2 - r^2) \;\to\; \rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi h (R^2 - r^2)} [/latex] Wie man sieht divergiert die Massendichte für wachsendes r. Daraus folgt für das Trägheitsmoment [latex]J(r) = \frac{\pi}{2}\rho h(R^4 - r^4) = \frac{\pi}{2} \frac{M}{\pi h (R^2 - r^2)} h(R^4 - r^4) = \frac{M}{2} (R^2 + r^2) [/latex] Daraus folgt, dass J(r) für konstantes M und R mit wachsendem r zunimmt (!) da die konstant bleibende Masse im Zylindermantel weiter außen konzentriert ist.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Nov 2012 23:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Man betrachte das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit innerem Radius r und äußerem Radius R. Das Trägheitsmoment lautet zunächst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J = \frac{\pi}{2}\rho h(R^4 - r^4)"> <br /> <br />Wobei einfach die Trägheitsmomente zweier Vollzylinder subtrahiert werden. <br /> <br />Nun variiert man r zwischen r=0 ( Vollzylinder) und r=R ( Zylindermantel). Dabei soll jedoch M konstant bleiben, d.h. für wachsendes r muss die Massendichte zunehmen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \rho V = \pi \rho h (R^2 - r^2) \;\to\; \rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi h (R^2 - r^2)} "> <br /> <br />Wie man sieht divergiert die Massendichte für wachsendes r. <br /> <br />Daraus folgt für das Trägheitsmoment <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J(r) = \frac{\pi}{2}\rho h(R^4 - r^4) = \frac{\pi}{2} \frac{M}{\pi h (R^2 - r^2)} h(R^4 - r^4) = \frac{M}{2} (R^2 + r^2) "> <br /> <br />Daraus folgt, dass J(r) für konstantes M und R mit wachsendem r zunimmt (!) da die konstant bleibende Masse im Zylindermantel weiter außen konzentriert ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Nov 2012 23:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PhySem1 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />NAch deiner erklärung müsten die beiden Zylinder, um den gleichen Trägheitsmoment zu haben, identisch sein? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wenn also der eine hohl und der andere nicht, dann können sie gar nicht die gleiche Masse haben? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Doch natürlich, aber dann sind sie logischerweise aus unterschiedlichem Material.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PhySem1</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Nov 2012 22:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br />NAch deiner erklärung müsten die beiden Zylinder, um den gleichen Trägheitsmoment zu haben, identisch sein? Wenn also der eine hohl und der andere nicht, dann können sie gar nicht die gleiche Masse haben? <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Nov 2012 20:42<span class="gen"> </span> Titel: Re: Rotation zweier Zylinder</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PhySem1 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wenn zwei Zylinder <span style="font-weight: bold">gleicher Masse</span> (einer aus massiven Eisen und der andere innen Hohl)eine schiefe Bahn herunterrollen, warum hat der massive dann den kleineren Drehmoment? Der Drehmoment ist doch abhängig von den Masseelemten und dem Abstand zum Schwerpunkt. Daher sollte der massive Zylinder doch einen größeren Trägheitsmoment haben? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie Du schon sagst, haengt es von der Massenverteilung ab. Die Annahme ist, dass beide Zylinder die <span style="font-weight: bold">gleiche</span> Masse haben, die aber unterschiedlich verteilt ist. <br /> <br />Du denkst wahrscheinlich dran, dass man den hohlen Zylinder kriegt, indem man einfach das innere des massiven Zylinders weglässt, in diesem Fall hast Du recht und der massive haette ein hoeheres Traegheitsmoment, allerdings auch eine hoehere Gesamtmasse.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PhySem1</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Nov 2012 20:21<span class="gen"> </span> Titel: Rotation zweier Zylinder</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo!<br /><br />Ich verstehe ein Experiment nicht so ganz: Wenn zwei Zylinder gleicher Masse (einer aus massiven Eisen und der andere innen Hohl)eine schiefe Bahn herunterrollen, warum hat der massive dann den kleineren Drehmoment? Der Drehmoment ist doch abhängig von den Masseelemten und dem Abstand zum Schwerpunkt. Daher sollte der massive Zylinder doch einen größeren Trägheitsmoment haben?<br /><br />Vielen Dank schon mal für die Hilfe!<br /><br />Gruß<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />oben</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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