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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Robert O."]Hi,

stimmt, mit den generalisierten Koordinaten liegst du richtig.

[latex]\vec{r_{i}} =  \vec{r_{i}}(q_{1},...,q_{n},t)[/latex] für i = 1,...,N Massenpunkte.

Dann gilt wiederum:

[latex]g_{l}(\vec{r_{1}}(q_{1},...,q_{n},t),...,\vec{r_{N}}(q_{1},...,q_{n},t),t)=(identisch)0[/latex]

d.h.:[latex]\frac{\partial g_{l}}{\partial q_{j}} = 0[/latex]

[latex]\frac{\partial g_{l}}{\partial q_{j}} = \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{1}}}*\frac{\partial \vec{r_{1}}}{\partial q_{j}}+...+\frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{N}}}*\frac{\partial \vec{r_{N}}}{\partial q_{j}} = 0[/latex]

[latex]\sum\limits_{k=1}^N \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{j}} = 0[/latex]

Lagrange Gleichungen 1.Art:

[latex]m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}} = \vec{F_{i}^{*}} + \sum\limits_{l=1}^k \lambda_{l}(t)* \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{i}}}[/latex]

Multiplikation der DGL. mit [latex]\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} [/latex] ergibt:

[latex]\sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}  = \sum\limits_{i=1}^N\vec{F_{i}^{*}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}  + \sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{l=1}^k \lambda_{l}(t)* \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} [/latex]

Endliche Doppelsummen sind vertauschbar, womit sich nun die zwangskräftelose Beziehung zu [latex]\sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}  = \sum\limits_{i=1}^N\vec{F_{i}^{*}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}[/latex] ergibt.

Die rechte Seite ist die generalisierte Kraft [latex]Q_{j}[/latex], die schon mal passt. Die linke Seite muss noch verändert werden.

[latex]\dot{\vec{r_{i}}} = \frac{\dd }{\dd t}\vec{r_{i}} = \frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{1}}*\dot{q_{i}} +...+frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{n}}*\dot{q_{n}} + \frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial t}  [/latex]

und somit sieht man, dass [latex]\frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{j}} = \frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial \dot{q_{j}} }[/latex] ist.

Wendet man nun die Produktregel der Differentiationsrechnung auf der linken Seite der Lagrange Gleichung an, folgt daraus:

[latex]\sum\limits_{i=1}^N \frac{\dd }{\dd t} (m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial q_{j}}) - \sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}})[/latex]

Mit [latex]\frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}) = \frac{\dd }{\dd g_{j}}(\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{1}}*\dot{q_{1}}+...+\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{n}}*\dot{q_{n}}+\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial t})[/latex] kann man für die linke Seite folgendes schreiben:

[latex]\sum\limits_{i=1}^N \frac{\dd }{\dd t} (m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial \dot{q_{j}} }) - \sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}} }}{\partial q_{j}}[/latex]

Zwischenrechnung:

[latex]\frac{\partial }{\partial \dot{q_{j}} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial \dot{q_{j}} }[/latex]
[latex]\frac{\partial }{\partial q_{j} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}}  }{\partial q_{j} }[/latex]

Somit folgt für die linke Seite:

[latex]\sum\limits_{i=1}^N \frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial }{\partial \dot{q_{j}} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2})) - \sum\limits_{i=1}^N \frac{\partial }{\partial q_{j} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2})  = \frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial }{\partial \dot{q_{j}} }(\sum\limits_{i=1}^Nm_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}))- \frac{\partial }{\partial q_{j} }(\sum\limits_{i=1}^Nm_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = \frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{j}} })- \frac{\partial T}{\partial q_{j} }[/latex]

Somit ergeben sich die Lagrange Gleichungen 2.Art zu:
[latex]\frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{j}} })- \frac{\partial T}{\partial q_{j} } = Q{j}[/latex]

Ich hoffe, dass deine Frage jetzt beantwortet ist.

mfg[/quote]

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