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[quote="Stony Lake"][b]Meine Frage:[/b] Guten Abend, um den Gesamtdrehimpuls des Quaders [latex]Q=[-x_0,x_0]\times [-y_0,y_0]\times [-z_0,z_0][/latex] mit konstanter Dichte [latex]\rho(\vec{r})[/latex] brauche ich den Trägheitstensor [latex]I =\int_Q \rho(\vec{r}) \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z \\ -y x & x^2+z^2 & -y z \\ -z x & - z y & x^2+y^2 \\\end{pmatrix}\, \dd \vec{r} [/latex] Aber wie berechne ich dieses Integral? [b]Meine Ideen:[/b] Bei der Aufgabe dabei steht nur "komponentenweise Integration über [latex]\vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 [/latex]" Damit komme ich aber leider nicht klar...[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Stony Lake</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2013 11:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hey hey! Vielen Dank euch!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2013 01:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Stony Lake hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ist das so okay? Sieht bisschen komishc aus. Hab mich bestimmt verrechnet <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das Ergebnis ist richtig.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Nickname</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2013 01:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Stony Lake hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das heißt also, dass beispielsweise der ersten Eintrag der Matrix das ist?: <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{1,1}=\rho \int_Q y^2+z^2\ \dd\vec{r}=\int_{[-z_0,z_0]}\left(\int_{[-y_0,y_0]} \left(\int_{[-x_0,x_0]} y^2+z^2 dx \right) dy \right) dz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?=\int_{[-z_0,z_0]}\left(\int_{[-y_0,y_0]} (y^2+z^2)\cdot 2x_0\ dy \right) dz = 2x_0\int_{[-z_0,z_0]}\left(\int_{[-y_0,y_0]} y^2+z^2\ dy \right) dz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?= 2x_0\int_{[-z_0,z_0]} \left[\frac{y^3}{3}+yz^2\right]_{-y_0}^{y_0} dz=2x_0\int_{[-z_0,z_0]} \frac{2y_0^3}{3}+2y_0z^2\ dz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?=2x_0\left[\frac{2y_0^3}{3}z+\frac{2y_0}{3}z^3\right]_{-z_0}^{z_0} =2x_0\left(\frac{4y_0^3}{3}z_0+\frac{4y_0}{3}z_0^3\right)"> <br /> <br />Ist das so okay? Sieht bisschen komishc aus. Hab mich bestimmt verrechnet <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In der 3. Formel-Zeile ist - glaube ich - ein Fehler. Es muss wohl lauten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?({2y_0})^3 = 8y_0^3"> <br /> <br />Dasselbe gilt für z in der 4. Formel-Zeile. <br /> <br />Oh nein, doch nicht (das kommt davon, wenn man um diese Uhrzeit noch rechnet!)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Namenloser324</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2013 01:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">sieht gut aus</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Stony Lake</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2013 00:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Erstmal Kompliment, dass um die Zeit so eine schnell Anwort gekommen ist...! <br /> <br />Das heißt also, dass beispielsweise der ersten Eintrag der Matrix das ist?: <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{1,1}=\rho \int_Q y^2+z^2\ \dd\vec{r}=\int_{[-z_0,z_0]}\left(\int_{[-y_0,y_0]} \left(\int_{[-x_0,x_0]} y^2+z^2 dx \right) dy \right) dz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?=\int_{[-z_0,z_0]}\left(\int_{[-y_0,y_0]} (y^2+z^2)\cdot 2x_0\ dy \right) dz = 2x_0\int_{[-z_0,z_0]}\left(\int_{[-y_0,y_0]} y^2+z^2\ dy \right) dz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?= 2x_0\int_{[-z_0,z_0]} \left[\frac{y^3}{3}+yz^2\right]_{-y_0}^{y_0} dz=2x_0\int_{[-z_0,z_0]} \frac{2y_0^3}{3}+2y_0z^2\ dz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?=2x_0\left[\frac{2y_0^3}{3}z+\frac{2y_0}{3}z^3\right]_{-z_0}^{z_0} =2x_0\left(\frac{4y_0^3}{3}z_0+\frac{4y_0}{3}z_0^3\right)"> <br /> <br />Ist das so okay? Sieht bisschen komishc aus. Hab mich bestimmt verrechnet <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Jan 2013 23:38<span class="gen"> </span> Titel: Re: Trägheitstensor</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es ist zunächst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I =\int_Q \rho(\vec{r}) \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z \\ -y x & x^2+z^2 & -y z \\ -z x & - z y & x^2+y^2 \\\end{pmatrix}\, \dd \vec{r} = \rho \;\int_Q \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z \\ -y x & x^2+z^2 & -y z \\ -z x & - z y & x^2+y^2 \\\end{pmatrix}\, dx\,dy\,dz"> <br /> <br />und das kannst du jetzt komponentenweise integrieren, d.h. neun dreifach-Integrale über den Quader Q.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Stony Lake</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Jan 2013 23:22<span class="gen"> </span> Titel: Trägheitstensor</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Guten Abend,<br /><br />um den Gesamtdrehimpuls des Quaders <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q=[-x_0,x_0]\times [-y_0,y_0]\times [-z_0,z_0]"> mit konstanter Dichte <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r})"> brauche ich den Trägheitstensor <br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I =\int_Q \rho(\vec{r}) \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z \\ -y x & x^2+z^2 & -y z \\ -z x & - z y & x^2+y^2 \\\end{pmatrix}\, \dd \vec{r} "><br /><br /><br />Aber wie berechne ich dieses Integral?<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Bei der Aufgabe dabei steht nur "komponentenweise Integration über <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 ">"<br /><br /><br />Damit komme ich aber leider nicht klar...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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