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[quote="scaer93"]Hi Huggy, danke sehr für die Antwort. Glaube, ich habe alles soweit verstanden. Ich würde gerne meine Lösung Schritt für Schritt hier schreiben, und um Korrektur bitten. Zunächst noch eine Frage: Ich müsste doch für den Formalismus bei Integral mit Heaviside dann die Grenzen mit den [latex]\infty[/latex] aus meinem ersten Post übernehmen dürfen, oder? Nun zum Gravitationspotenzial: da x=y=0, z>L gelten soll, brauche ich doch nicht über die Vektoren integrieren, oder? [latex]\Phi(\vec{r}) = -G\rho_{0} \int \frac{rdr d\phi dz}{|\vec{r}-\vec{r'}|}[/latex] [latex]= -G\rho_{0} \int^{R}_{0}rdr \, \int^{2\pi}_{0}d\phi \, \int^{+L}_{-L}\frac{dz}{|\vec{r}-\vec{r'}|}[/latex] So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich den Nenner mit den Vektoren im Integral betrachten soll? Wegen x=y=0, würde ich den Vektor [latex]\vec{r}[/latex] gleich z setzten, aber was ist mit dem Vektor [latex]\vec{r'}[/latex]? Danke und Grüße Scaer93[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2013 08:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />danke für die Bemerkungen. Ich hatte zuerst an das Mantra "Wurzel hat zwei Lösungen" gedacht, dann aber genau wegen deiner Begründung die eine vernachlässigt. <br /> <br />Wolfram-Alpha kann bestimmte Integrale berechnen? Danke für den Tipp... <br /> <br />Grüße</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2013 07:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Noch zwei Schlussbemerkungen: <br /> <br />(1) Nach der Integration über r' entstand entstand der Ausdruck <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt {(z-z')^2}">. Den hast du vereinfacht zu z - z'. Das ist nur richtig für z - z' >= 0, d h. z >= z'. Da das Potential laut Aufgabe für z > L bestimmt werden soll, ist diese Bedingung erfüllt. <br />Will man das Potential auch für -L < z < L bestimmen, d. h. innerhalb des Zylinders, gibt es auch Bereiche mit z < z'. Dort gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt {(z-z')^2}= -(z-z')=z'-z">. Man muss dann das Integral über z' in zwei Teile aufspalten. <br /> <br />(2) Von Wolfram kann man sich auch bestimmte Integrale berechnen lassen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 19:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, genau das meinte ich. Dann bin ich jetzt aber froh... <br /> <br />Danke sehr....</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 19:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>scaer93 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Stimmt es nun, wenn man für a nun L minus -L einsetzten würde?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn du damit meinst, man solle für die obere Grenze L und die untere Grenze -L einsetzen und dann den zweiten Term von dem ersten abziehen, dann stimmt das.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 18:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />gut, wenn die Lösung des dr-Integrals passt, sollte doch dann wohl: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{(z-z')^{2}+r^{2}}"> in den Grenzen 0 bis R folgt dann doch wohl: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{(z-z')^{2}+R^{2}} - \sqrt{(z-z')^{2}+0^{2}} = \sqrt{(z-z')^{2}+R^{2}} - \sqrt{(z-z')^{2}}=\sqrt{(z-z')^{2}+R^{2}} - (z-z')=: Q"> <br /> <br />Dieses Q muss ich nun Integrieren von -L bis L, also das dz'-Integral: <br />Laut Wolfram Alpha kommt da das raus: <br /><a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+%28sqrt%28%28z-a%29%5E%282%29%2Br%5E%282%29%29-%28z-a%29%29+da" target="_blank" class="postlink">http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+%28sqrt%28%28z-a%29%5E%282%29%2Br%5E%282%29%29-%28z-a%29%29+da</a> <br /> <br />Mit a=z'! <br /> <br />Stimmt es nun, wenn man für a nun L minus -L einsetzten würde? <br /> <br />Grüße</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 18:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es ist zum Verzweifeln: <br /> <br />Das unbestimmte Integral stimmt. Das bestimmte Integral stimmt nicht! <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br />Also korrigiere das, bevor du dich mit dem Integral über z' befasst. Mit den Helferlein, die einem heute zur Verfügung stehen, ist die Aussage, das bekomme ich nicht hin, unverständlich. <br /> <br />Es ist übrigens nicht nützlich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(z-z')^2"> auszumultplizieren. Das verbleibende Integral wird etwas übersichtlicher, wenn man die Substitution <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u = z - z">' macht. Dann steht es in jeder Formelsammlung. Und Wolfram sollte eh, auch ohne Substitution, kein Problem damit haben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 17:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Oh, das habe ich tatsächlich übersehen. Irgendwie kam ich mit den Strichen durcheinander... <img src="images/smiles/hammer.gif" alt="Hammer" border="0" /> <br /> <br />So, nun aber: <br /> <br />1. Lösung des dr-Integrals: (unbestimmt) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{z^{2}-2zz'+z'^{2}+x^{2}}"> <br /> <br />=><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{z^{2}-2zz'+z'^{2}+R^{2}}"> <br /> <br />nun habe ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \sqrt{z^{2}-2zz'+z'^{2}+R^{2}} \, dz'"> zu lösen, was ich leider nicht hinbekomme....</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 16:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Irgendetwas läuft bei dir noch mächtig schief. Ich weiß nur nicht was, das Integrieren, die Bedeutung der Variablen, die Sorgfalt oder vielleicht eine Mischung? <br /> <br />Also nochmal die bisherigen Schritte und dabei verwende ich, damit es keine Missverständnisse gibt, jetzt konsequent für den Aufpunkt ungestrichene Variablen und für die Integrationsvariablen gestrichene Variablen. Zu berechnen ist: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(\vec r) =-G \rho_0 \int _{V'} \frac {dV'}{|\vec r - \vec r'|}"> <br /> <br />Es ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r = (x, y, z)"> und es soll der Spezialfall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r = (0,0,z)"> betrachtet werden. Deswegen ändert die Umrechnung in Zylinderkoordinaten nichts. Es ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = (x', y', z') =(r' \cos \varphi ', r' \sin \varphi ',z')">. Damit ergab sich: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec r -\vec r'| = \sqrt {r'^2+(z-z')^2}"> <br /> <br />Ferner ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dV'=r'dr' d \varphi ' dz'">. Das zu berechnende Integral lautet jetzt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(z)=-G \rho_0 \int\limits_{-L}^L \int\limits_0^R \int\limits_0^{2 \pi}\frac {r'}{\sqrt {r'^2+(z-z')^2}}d \varphi ' dr' dz'=-2 \pi G \rho_0 \int\limits_{-L}^L \int\limits_0^R \frac {r'}{\sqrt {r'^2+(z-z')^2}} dr' dz'"> <br /> <br />Und jetzt schau dir nochmal das Integral über r' an. r' steht nicht nur im Zähler sondern auch im Nenner unter der Wurzel.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 15:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, warum? Hab ich doch... <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int^{R}_{0} rdr = \frac{1}{2}R^{2}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int^{2\pi}_{0} d\varphi = 2\pi"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int^{+L}_{-L} dz'/(|\vec{r}-\vec{r'}|)"> <br /> <br />Zusammen...oh, das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pi"> fehlt..., aber insgesamt ergibt sich: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-G\rho_0 \pi log( \frac{\sqrt{r^{2} + (L-z)^{2}}+L-z)}{(\sqrt{r^{2}+(-l-z)^{2}}-L-z)} ) "> <br /> <br />Für das Potential..oder? <br /> <br />Ich weiß einfach nicht, was du meinst, was falsch ist. Das fehlende Pi war wirklich mein Fehler, den ich jetzt gesehen habe, aber sonst...Keine Ahnung. <br /> <br />Könntest du mir bitte noch helfen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Apr 2013 07:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, das kommt nicht heraus. <br />Ich bin erschüttert, wie wenig Mühe du dir gibst. Du hast doch ein Dreifachintegral. Die Integrationen über <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> und r bzw. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho"> fehlen bei dir. Das sind die einfacheren Integrationen, die man zuerst ausführen sollte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 19:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Gut danke sehr. <br /> <br />Kommt als Lösung raus?: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-G \rho_{0} R^{2} log(\frac{\sqrt{r^{2}+(L-z)^{2}}+L-z}{\sqrt{r^{2}+(-L-z)^{2}}-L-z})"> <br /> <br />Mit gelösten Integral in den Grenzen L und -L : <br /><a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28dx%2F%28sqrt%28r%5E%282%29%2B%28z-x%29%5E%282%29%29%29" target="_blank" class="postlink">http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28dx%2F%28sqrt%28r%5E%282%29%2B%28z-x%29%5E%282%29%29%29</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 18:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>scaer93 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hi, <br />Ich muss ja nun nach dem z und nicht nach z' integrieren, da wir ja dz stehen haben.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn man die Koordinaten der Massenelemente <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = (x', y' z')"> nennt, dann ist über z' zu integrieren. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r=\rho"> steckt aber doch x und y drinnen, warum wird das dann nicht null?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es wird doch über die Massenelemente des Zylinders integriert und der hat doch einen von 0 verschiedenen Radius. Lediglich für den Punkt, in dem das Potential bestimmt werden soll, ist r = 0 vorgegeben. Aber über den Punkt wird nicht integriert. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Könntest du mir zum Vergleichen evtl. die End-Lösung schreiben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Schreib halt mal deine Ergebnisse auf. Ich sehe sie mir dann an.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 18:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />danke für die Antwort. <br /> <br />Ja, ich hatte vergessen, zu sagen, dass ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r=\rho"> gemacht habe, wegen etwas Übersichtlichkeit. <br /> <br />Naja, Bronstein bzw. Wolfram-Alpha wäre eine erlaubte Variante... <br /> <br />Ich muss ja nun nach dem z und nicht nach z' integrieren, da wir ja dz stehen haben. <br /> <br />In dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r=\rho"> steckt aber doch x und y drinnen, warum wird das dann nicht null? <br /> <br />Könntest du mir zum Vergleichen evtl. die End-Lösung schreiben? <br /> <br />Grüße <br />Scaer93</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 16:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>scaer93 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Gerechnet: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r} - \vec{r'}|=\sqrt{(0-\rho Cos(\varphi)^{2}) + (0-\rho Sin(\varphi)^{2}) + (z-z')^{2}}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist richtig, bis auf die Klammerung. wenn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho"> die radiale Kordinate von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r'"> sein soll. Korrekt ist: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r} - \vec{r'}|=\sqrt{(0-\rho \cos\varphi)^{2} + (0-\rho \sin\varphi)^{2} + (z-z')^{2}}"> <br /> <br />Vereinfacht ergibt das <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r} - \vec{r'}|=\sqrt{\rho^{2} + (z-z')^{2}}"> <br /> <br />Das kannst du in das Volumenintegral schreiben. Allerdings musst du dann dort auch rdr durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho d \rho"> ersetzen. Der Rest, den du geschrieben hattest, war Murks. Und das Integral löse mal schön selber. Das ist ja die Hauptarbeit, wenn man es nicht vom Rechner oder Wolframalpha machen lassen lässt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 14:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Ist |r-r'| gleich z-z'? <br /> <br />Gerechnet: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r} - \vec{r'}|=\sqrt{(0-\rho Cos(\varphi)^{2}) + (0-\rho Sin(\varphi)^{2}) + (z-z')^{2}}"> <br /> <br />Mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho = \sqrt{x^2 + y^2} und x=y=0 folgt \rho=0"> <br /> <br />Trigonometrischer Phytagoras entfernt dann auch schon Winkelabhängigkeit. <br /> <br />Gesamtlösung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Potential=-G \rho_0 R^{2} log(\frac{z-L}{z+L})"> <br /> <br />Stimmt das? Wenn nicht, könntest du bzw, ihr mir dann freundlicherweise das Problem-Integral lösen? <br /> <br />Grüße <br />Scaer93</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 07:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Überleg dir mal folgendes: <br /> <br />Man kann sich den Zylinder aus unendlich dünnen Scheiben zusammengesetzt denken. Das Gravitationspotential des Zylinders ergibt sich dann durch z-Integration über das Gravitationspotential dieser Scheiben. <br /> <br />Das Gravitationspotential dieser Scheiben ist außerdem sicher rotationssymmetrisch bzgl. phi. <br /> <br />Starte also mal mit einer Scheibe.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Apr 2013 07:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Selbstverständlich musst du unter der Wurzel die kartesischen Kordinaten mit den Transformationsformeln kartesisch -> zylindrisch umrechnen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Apr 2013 18:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, danke für die Antwort. <br /> <br />Natürlich weiß ich, wie der Betrag im kartesischen berechnet wird. <br /> <br />In Kartesischen Koordinaten: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r} - \vec{r'}| = |(x-x', y-y', z-z')| = \sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}"> <br /> <br />Das gilt aber doch so auch nur in Kartesisch. Ich kann doch nicht einfach jetzt jedes x gegen ein r und jedes y gegen den Winkel etc. tauschen?! <br /> <br />Heißt es dann so?: Denke aber nicht... <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r} - \vec{r'}| = |(0, 0, z)-(r', \varphi', z')| = | (0-r', 0-\varphi', z-z' | "> <br /> <br />Aber der Betrag müsste sich doch in Zylinderkoordinaten anders berechnen lassen, als einfach mit dem Wurzelausdruck und den Quadraten der Komponenten? Jedenfalls wurde uns das eingetrichtert...deshalb vermutlich mein Problem hier mit dem Ausdruck <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r}-\vec{r'}|"> <br /> <br />Oder muss ich die Transformationsformeln für Zylinderkoordinaten einsetzten? <br /> <br />Danke und Grüße <br />Scaer93</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Apr 2013 08:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>scaer93 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Zunächst noch eine Frage: Ich müsste doch für den Formalismus bei Integral mit Heaviside dann die Grenzen mit den <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\infty"> aus meinem ersten Post übernehmen dürfen, oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nun zum Gravitationspotenzial: da x=y=0, z>L gelten soll, brauche ich doch nicht über die Vektoren integrieren, oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist ein ganz gewöhnliches Volumenintegral. Im Integrand stehen ja keine Vektoren, sondern die Länge eines Differenzvektors und die Länge ist ein Skalar. Mit dem zu betrachten Spezialfall x = 0, y = 0 hat das nichts zu tun. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich den Nenner mit den Vektoren im Integral betrachten soll?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du weißt doch sicher, wie sich die Länge oder Norm eines Vektors berechnet. Das musst du einfach für den Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r - \vec r'"> hinschreiben. Das Ergebnis in Zylinderkoordinaten ergibt sich auch aus dem Satz des Pythagoras. Falls du Probleme hast, gehe schrittweise vor. Schreibe die Länge der Differenz allgemein in kartesischen Koordinaten auf: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec r - \vec r'| = |(x, y,z) - (x', y',z')| = ?"> <br /> <br />Spezialisiere das Ergebnis auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r = (0, 0, z)">. <br />Ersetze die kartesischen Koordinaten durch Zylinderkordinaten. Bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r"> ändert sich dadurch nichts. <br /> <br />Der Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r'"> wäre danach konsequent zu schreiben als <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(r', \varphi', z')">. Da aber in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r"> wegen des Spezialfalls r und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> gar nicht in Erscheinung treten, kann man bei r' und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi'"> die Striche auch weglassen. Andernfalls müsste man im Integral für die Integrationsvariablen r' und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi'"> schreiben. Bei der axialen Koordinate musst du definitiv über z' integrieren, da ja z schon in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r"> verwendet wird. <br /> <br />Vereinfache das Ergebnis. Die Winkelkoordinate fällt dadurch weg. Nun kannst du integrieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Apr 2013 20:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi Huggy, danke sehr für die Antwort. Glaube, ich habe alles soweit verstanden. Ich würde gerne meine Lösung Schritt für Schritt hier schreiben, und um Korrektur bitten. <br /> <br />Zunächst noch eine Frage: Ich müsste doch für den Formalismus bei Integral mit Heaviside dann die Grenzen mit den <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\infty"> aus meinem ersten Post übernehmen dürfen, oder? <br /> <br />Nun zum Gravitationspotenzial: da x=y=0, z>L gelten soll, brauche ich doch nicht über die Vektoren integrieren, oder? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(\vec{r}) = -G\rho_{0} \int \frac{rdr d\phi dz}{|\vec{r}-\vec{r'}|}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?= -G\rho_{0} \int^{R}_{0}rdr \, \int^{2\pi}_{0}d\phi \, \int^{+L}_{-L}\frac{dz}{|\vec{r}-\vec{r'}|}"> <br /> <br />So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich den Nenner mit den Vektoren im Integral betrachten soll? <br />Wegen x=y=0, würde ich den Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}"> gleich z setzten, aber was ist mit dem Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r'}">? <br /> <br />Danke und Grüße <br />Scaer93</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Apr 2013 18:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>scaer93 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Worin liegt denn genau der Unterschied zwischen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r}) \, und \, \rho(r)">?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho ( \vec r)"> ist die normale Dichte mit der Einheit z. B. kg/m^3. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho (r)"> wäre die Masse einer Zylinderschale der Dicke dr im Abstand r von der z-Achse geteilt durch dr, hätte also die Einheit kg/m. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn sich der Zylinder, wie du bei b) sagst besser von -L bis L erstreckt, dann sieht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r})"> so aus, oder?: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r}) = \rho(r, \phi, z) = \rho_{0}\Theta(R-r)\Theta(L-z)\Theta(z)"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nicht ganz: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r}) = \rho(r, \phi, z) = \rho_{0}\Theta(R-r)\Theta(L-z)\Theta(L+z)"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Warum ist -L bis L als Lage des Zylinders besser?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Sie ist nicht unbedingt besser. Mir gefällt das nur besser, weil dann der Ursprung des Koordinatensystems mit dem Mittelpunkt des Zylinders zusammenfällt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was ist aber mein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}">'?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist die allgemeine Koordinate der Dichte, über die integriert wird. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wo ist bei deinem einsetzten von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r})"> die Heaviside-Funktion geblieben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die habe ich weggelassen und dafür das Integral gleich nur über das Zylindervolumen V erstreckt. Du kannst sie auch erst hineinschreiben und dann formal bis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\infty"> integrieren. Bringt aber keinen besonderen Nutzeffekt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dann müsste ich ein Dreifach-Integral mit folgenden Grenzen bekommen?: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 \, bis \, R, 0 \, bis \, 2\pi, -L \, bis \, L"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Apr 2013 16:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, danke für die Antwort. Ich habe noch ein paar Fragen... <br /> <br />zu a) <br />Worin liegt denn genau der Unterschied zwischen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r}) \, und \, \rho(r)">? <br /> <br />Wenn sich der Zylinder, wie du bei b) sagst besser von -L bis L erstreckt, dann sieht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r})"> so aus, oder?: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r}) = \rho(r, \phi, z) = \rho_{0}\Theta(R-r)\Theta(L-z)\Theta(z)"> <br /> <br />zu b) <br />Warum ist -L bis L als Lage des Zylinders besser? <br />Was ist aber mein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}">'? <br />Wo ist bei deinem einsetzten von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r})"> die Heaviside-Funktion geblieben? <br /> <br />Ich weiß, dass ich für dV das Volumenelement in Zylinderkoordinaten einsetzten muss, daher: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(\vec{r}) = -G\rho_{0} \int \frac{rdrd\phi dz}{|\vec{r}-\vec{r}'|}"> <br /> <br />Dann müsste ich ein Dreifach-Integral mit folgenden Grenzen bekommen?: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 \, bis \, R, 0 \, bis \, 2\pi, -L \, bis \, L"> <br /> <br />Danke und Grüße <br />scaer93</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Apr 2013 11:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">a) Nach deinem Aufgabentext sollst du nur <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho (\vec r)"> angeben und das ist in Zylinderkoordinaten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho (\vec r) = \rho (r, \varphi, z) =\rho_{0} \Theta(R-r)\Theta(2L-z)\Theta(z)"> <br /> <br />wenn sich der Zylinder in z-Richtung von 0 bis 2L erstreckt. <br /> <br />Die Ausführung der Integrationen ist überflüssig. Wenn du allerdings <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho (r)"> angeben möchtest mit r als der radialen Zylinderkoordinate, so ist dein Ergebnis falsch. Dafür sind nur die Integrationen über <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> und z auszuführen. Was dann noch unter dem Integral steht, ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho (r)">. <br /> <br />b) Das Potential eines Massenelementes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dm =\rho (\vec r')dV"> an der Stelle <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r"> ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi_{dm} (\vec r)= -G \frac {\rho (\vec r')dV}{|\vec r - \vec r'|}"> <br /> <br />Das Gravitationspotentials des Zylinders ergibt sich durch Integration über den Zylinder: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(\vec r) =-G\int _V \frac {\rho (\vec r')dV}{|\vec r - \vec r'|}=-G \rho_0 \int _V \frac {dV}{|\vec r - \vec r'|}"> <br /> <br />Auf der Zylinderachse, also für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r = (0, 0, z)">, lassen sich die Integrationen analytisch ausführen. Dabei wäre es mir symphatischer, wenn man den Zylinder sich von -L bis L erstrecken liesse anstatt von von 0 bis 2L.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>scaer93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Apr 2013 09:38<span class="gen"> </span> Titel: Gravitationspotential berechnen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Großes Problem mit Heaviside-Funktion und Gravitationspotential. Hoffe, ihr könnt mir helfen bei der Aufgabe: <br /> <br />Sie haben einen Zylinder mit Radius R und Dicke 2L und einer Konstanten Massenverteilung rho_0. <br /> <br />a) Drücken sie die Massenverteilung rho(r) mit der Heaviside-Stufenfunktion (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Theta">) in geeigneten Koordinaten aus. (das kleine r hat einen Vektorpfeil) <br /> <br />b) Berechnen sie das Gravitationspotential entlang der z-Achse, d.H. für x=y=0, z>L <br />Hinweis: Nutzen sie Symmetrie des Problems, geeignete Koordinaten und denken sie daran, dass das Potential nur in z-Richtung wirkt. <br /> <br /> <br />Meine Ansätze: <br />Ich denke, mit "Dicke" ist die Höhe gemeint. <br /> <br />zu a) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M= \int d^{3}r \, \rho(\vec{r}) = \int^{+\infty}_{-\infty} dz \, \int^{+\infty}_{0} r\,dr\, \int^{2\pi}_{0} d\phi\,\rho(r,z) <br /> <br />= 2\pi \int^{+\infty}_{-\infty} dz \, \int^{+\infty}_{0} \rho_{0} \Theta(R-r)\Theta(2L-z)\Theta(z) <br /> <br />= 2\pi \int^{2L}_{0}\,dz\,\int^{R}_{0}r\rho_0\,dr <br />= 2\pi \cdot L \cdot R^{2} \cdot \rho_{0} <br /> "> <br /> <br />Mit Massennormierung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M=2\pi \cdot L \cdot R^{2} \cdot \rho_{0}"> <br />folgt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(r) = \frac{M}{\pi \cdot 2L \cdot R^{2}} \Theta(R-r)"> <br /> <br /> <br />Zu b: <br />Müsste ich mit einem Integral machen, jedoch Fehlt mir hier jegliche Idee. <br /> <br />Meine Fragen: <br /> <br />1. Stimmt a)? <br />2. Wie muss ich b) rechnen? <br /> <br />Danke und Grüße <br />Scaer93</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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