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[quote="heinfried"]ok. danke erstmal für die zwei guten erklärungen. bei c) sind einfach links und rechts ne Feder, so dass die Rolle zwischen ihnen schwingen kann. Sagen wir einfach dass eine Feder k_1 und die andere k_2 hat. iwie müssen in dem Fall ja die zwei Federkonstanten in der Kreisfrequenz auftauchen, oder etwa nicht.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Sep 2013 12:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du musst nach der Zeit ableiten, nicht nach x. Hier stehst du allerdings vor einem ganz anderen Problem. Als Bewegungsgleichung erhält man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(I/R^2 + m) \ddot x + k x = m g \cos \alpha"> <br /> <br />Hier hast du eine Inhomogenität (falls du interessiert bist: <a href="http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525" target="_blank">http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525</a> ). Du brauchst noch eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Wie wäre es denn da mal mit einer konstanten Lösung (nämlich der Gleichgewichtslage)? Die erhältst du mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_p=\frac{m g \cos \alpha }{k}">. Dann ist die rechte Seite null und die linke Seite sowieso, weil die Ableitung einer konstanten Funktion ist ja auch null. Damit weißt du, dass die Lösung dieser DGL lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = \hat x \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m+\frac{I}{R^2}}} t + \phi_0 \right) + \frac{m}{k} \cdot g \cos \alpha "> <br /> <br />An der Frequenz ändert die Gravitation aber nichts. Sie verschiebt einfach nur die Ruhelage etwas. Das kennt man ja: wenn du eine Feder vertikal schwingen lässt, ändert sich an der Frequenz nichts. Sie wird nur etwas mehr gedehnt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>heinfried</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Sep 2013 12:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe nochmal versucht die Aufgabe d) zu berechnen, mit der schiefen Ebene. <br /> <br />Wenn ich da den Ansatz mit dem EES mache, wie bei b), muss ich ja zsätzlich die potentielle Energie betrachten, die in dem Fall lautet: E=mgh mit h = x * tan alpha. (x ist die waagrechte Strecke der Ebene) <br /> <br />So wie du es oben erklärt hast musste man nach dem Ableiten durch x-Punkt teilen. Wenn ich aber den Term der pot E durch x-Punkt teile, in der ja nach dem Ableiten kein x-Punkt über bleibt (da die Ableitung von x ja 1 ergibt), hab ich dann in meiner Bewegungsgleichung noch ein x-Punkt im Nenner stehen. Ich hoffe du verstehts was ich meine.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 22:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich würde mal davon ausgehen, dass die beiden Federn Einfluss haben. Wenn du es genau wissen willst, musst du wohl die Aufgabe rechnen. <img src="images/smiles/fruit.gif" alt="Tanzen" border="0" /> <br /> <br />Beim Kraftansatz würde ich ansetzen: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F = - k_1 x + k_2 (d - x)">. Der Rest geht genauso. <br /> <br />EDIT: Entschuldigung, d ist der Abstand zwischen den Ruhelagen(!) der Federn.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>heinfried</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 22:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">ok. danke erstmal für die zwei guten erklärungen. <br /> <br />bei c) sind einfach links und rechts ne Feder, so dass die Rolle zwischen ihnen schwingen kann. Sagen wir einfach dass eine Feder k_1 und die andere k_2 hat. iwie müssen in dem Fall ja die zwei Federkonstanten in der Kreisfrequenz auftauchen, oder etwa nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 21:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich glaube, ich muss mich korrigieren: ein newtonscher Ansatz ist doch möglich, wenn auch nicht besonders sinnvoll. Mir fiel plötzlich ein, was ich im Landau gelesen hatte, als ich eigentlich nach dem D'Alembertschen Prinzip sehen wollte. <br /> <br />Das Prinzip ist, dass man irgendeine (unbekannte) Zwangskraft am unteren Teil der Rolle annimmt, nennen wir sie Z. Aus den kompletten Gleichungen für Kraft und Drehmoment sowie der Zwangsbedingung wird dann das Problem lösbar. <br /> <br />Kraft: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-k x + Z = \dot p = m \ddot x"> <br /> <br />Drehmoment: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r Z = \dot L = I \ddot \phi"> <br /> <br />Zwangsbedingung (Vorzeichen entnimmst du der Skizze): <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot x = - r \dot \phi \Rightarrow - \ddot x / r = \ddot \phi"> <br /> <br />Drehmoment wird damit zu: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r Z = -I \ddot x / r \Rightarrow Z = -(I/r^2) \ddot x"> <br /> <br />Und somit Kraft: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-k x -\frac{I}{r^2} \ddot x = m \ddot x"> <br /> <br />Damit kommt man auf dasselbe Ergebnis. Aber warum soll man eine Hilfsgröße einführen, wenn es auch ohne geht? Besonders elegant ist es nicht. Aber möglich ist es.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 19:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>heinfried hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">ah ok. Hatte nicht an den Zusammenhang v = w * r gedacht. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wäre das Erste, was mir bei "rollen" einfällt. Bei so was solltest du nie die Rotationsenergie vernachlässigen! <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>heinfried hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Muss ich dann bei d) noch die potentielle energie berücksichtigen mit E = mgh, wobei h = x * sin alpha?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Selbstverständlich. Alles, was mitspielt, spielt mit. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>heinfried hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />wie berücksichtige ich die zweite Feder bei c) ?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Aufgabe zu verstehen habe. Lade doch mal die Abbildung hoch. Allgemein: Genauso wie die erste. Du hast freie Wahl, wenn es darum geht, welche Größen du zur Beschreibung wählst (verallgemeinerte/generalisierte Koordinaten), idealerweise berücksichtigen sie die Zwangsbedingung. Also wenn das ganze so ist, wie ich mir das vorstelle, nimm nur eine horizontale Koordinate. <br /> <br />Der Energieansatz ist sowieso nur bei einer Koordinate sinnvoll. Bei mehr als einer würde ich den Lagrangeformalismus vorziehen. Aber vermutlich wird das bei c nicht der Fall sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>heinfried</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 13:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">ah ok. Hatte nicht an den Zusammenhang v = w * r gedacht. <br />Muss ich dann bei d) noch die potentielle energie berücksichtigen mit E = mgh, wobei h = x * sin alpha? <br /> <br />wie berücksichtige ich die zweite Feder bei c) ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 12:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du hast den Translationsterm vergessen. Ich meinte das so: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = \frac{k}{2} x^2 + \frac{I}{2} \dot \phi^2 + \frac{m}{2} \dot x^2 ">. <br /> <br />Wenn das Teil jetzt zum Beispiel rollt, gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r \dot \phi = \dot x"> (Zwangsbedingung), und wir haben <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = \frac{k}{2} x^2 + \frac{I}{2 r^2} \dot x^2 + \frac{m}{2} \dot x^2 "> <br /> <br />Energie ist erhalten (im Inertialsystem zumindest), d.h. ihre Zeitableitung ist null. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot E = k x \dot x + \frac{I}{r^2} \dot x \ddot x + m \dot x \ddot x = 0"> <br /> <br />Jetzt kannst du durch x-punkt teilen und hast deine Bewegungsgleichung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k x + \frac{I}{r^2} \ddot x + m \ddot x = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot x = - \frac{k}{I/r^2 + m} x"> <br /> <br />Und damit wüsstest du dann <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = \sqrt{\frac{k}{I/r^2 + m}}">. <br /> <br />PS: Oben war mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega"> die Winkelgeschwindigkeit gemeint, nicht die Kreisfrequenz. Hier unten ist omega die Kreisfrequenz. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum \frac{\Delta m}{2} v^2 = \sum \frac{\Delta m}{2} r^2 \omega^2 = \omega^2 / 2 \cdot \sum \Delta m \cdot r^2 =: (I/2) \omega^2 "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>heinfried</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 12:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">der EES wäre dann: E_ges = E_p + E_k = 1/2 Dx² + 1/2 Jw² . Verstehe nicht ganz nach was und wie ich jetzt ableiten soll. Dachte die Kreisfrequenz ergäbe sich eben nur aus der Differenzialgleichung, sprich Bewegungsgleichung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 11:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bei Schwingungsproblemen bietet der Energieerhaltungssatz oft eine gute Lösungsmöglichkeit, d.h. du stellst eine Formel für die Gesamtenergie auf, leitest sie ab und forderst, dass das null wird. Da kannst du die kinetische Energie, die in der Rolle steckt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1/2)I \omega^2"> mit berücksichtigen. <br /> <br />Ich glaube auch gar nicht, dass ein newtonscher Ansatz hier greift, da man zu wenig über die Zwangskräfte weiß (die ja immerhin nichtholonom sind).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>heinfried</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Aug 2013 11:24<span class="gen"> </span> Titel: Rolle an Feder</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Servus, <br /> <br />hab hier folgende Aufgabe: <br />Hab vier Abbildungen a-d. a-c sehen so aus, dass da eine Rolle mit ner Feder verbunden ist, wobei das System horzontal aufm Boden schwingt. Im Falle von a soll sie gleiten, im Fall von b rollen (ohne zu gleiten). <br />Bei c ist die Rolle zusätzlich mit ner zweiten Feder verbunden und bei d ist der Boden um den Winkel alpha geneigt (nur eine Feder). Auch für c und d soll sie rollen(ohne zu gleiten). <br />Ich soll für alle Abb die Schwingungsdauer bestimmen. a ist klar: w=wurzel D/m. Bei den restlichen bin ich mir unsicher. Es sollte jedenfalls iwo das Trägheitsmoment der Rolle mitdrin sein, das ist mir klar.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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