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[quote="GvC"]Von wegen Differentialgleichung. Die maximale Geschwindigkeit ist erreicht, wenn die Beschleunigung Null, also die Gesamtkraft Null ist. Der Rest ist nur noch Auflösen nach v.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 22:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Auf das mit der Differentialgleichung bin ich selbst gekommen. Ich habe anschließend in meinen Büchern danach gesucht und bin auf den Eintrag im Heuser gestoßen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 21:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>planck1858 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also in dem lehrbuch zur Analysis wird ebenfalls eine Differentialgleichung aufgestellt und gelöst.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich hatte auch nur ungenau gelesen, entschuldigung. Nicht, dass man das Problem nicht mit der Lösung der DGL lösen könnte. Es ist nur eben dafür etwas "overkill". In diesem Analysis-Lehrbuch (welches auch immer das ist) wird das Beispiel vermutlich aus Interesse an der Differentialgleichung und nicht aus Interesse am Problem gebracht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Warum gibst Du die Methode mit der Differentialgleichung als Deine aus, wenn Du sie doch aus dem Lehrbuch hast?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist allerdings interessant. Vor allem aber: Wieso fragst du, wenn die Antwort im Buch steht?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 19:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>planck1858 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also in dem lehrbuch zur Analysis wird ebenfalls eine Differentialgleichung aufgestellt und gelöst.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Da wird aber nicht nur die maximale Geschwindigkeit bestimmt, sondern der Geschwindigkeitsverlauf. Du hattest aber nur nach der maximalen Geschwindigkeit gefragt. <br /> <br />Warum gibst Du die Methode mit der Differentialgleichung als Deine aus, wenn Du sie doch aus dem Lehrbuch hast?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 19:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also in dem lehrbuch zur Analysis wird ebenfalls eine Differentialgleichung aufgestellt und gelöst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 19:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja natürlich. Kräftegleichgewicht kennst Du doch, oder? Ich dachte, Du seist mittlerweile schon weiter. <br /> <br />@Jayk <br />Es war nur nach der maximalen Geschwindigkeit gefragt. Die Differentialgleichung war für den vorgegebenen Fall nur eine einigermaßen unsinnige Idee von planck1858.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 18:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also würde das dann nach GvC's Methode bedeuten, dass ich für die Beschleunigung a=0 setze und nach v hin auflöse? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v=\sqrt{\frac{m \cdot g}{k}}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 18:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja. Wenn du sie lösen willst, nur zu. Aber GvC hat Recht, dass du das Maximum auch ablesen kannst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 18:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also handelt es sich dabei doch um eine Differentialgleichung, oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 18:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du kannst eine Lösung raten (hier passt der hyperbolische Tangens, wenn du den etwas zurecht biegst). Denn die Ableitung von dem ist gerade <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\tanh x) ' = 1 - \tanh^2 x">. <br /> <br />Ansonsten hilft Separation der Variablen auch hier: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd v}{g - \frac k m v^2} = \dd t"> <br /> <br />Das Monstrum auf der linken Seite kannst du mit Partialbruchzerlegung integrieren. Ich gebe mal eine Kurzfassung: wenn du etwas hast wie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac {p(x)}{q(x)}">, wobei der Grad von p kleiner als der von q ist, dann kannst du das in folgende Form bringen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{a_{11}}{x - x_1} + \frac{a_{12}}{(x - x_1)^2} + \dots + \frac{a_{1 n_1}}{(x - x_1)^{n_1 }} + \frac{a_{2 1}}{x - x_2} + \frac{a_{22}}{(x - x_2)^2} + \dots"> <br /> <br />wobei die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_i"> die Nullstellen von q sind und die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?n_i"> die so genannten Vielfachheiten (also wie oft der entsprechende Term in der Linearfaktorzerlegung vorkommt). Die ganzen a sind Konstanten, die du durch Koeffizientenvergleich bestimmen musst. Im konkreten Fall hast du <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{g - \frac{k}{m} v^2} = \frac{1}{c \cdot \left(v - \sqrt{\frac{m g}{k}} \right) \left( v + \sqrt{\frac{m g}{k}} \right)} = \frac{a}{v - \sqrt{\frac{m g}{k}}} + \frac{b}{v + \sqrt{\frac{m g}{k}}}"> <br /> <br />Die Terme, die dann da stehen, kannst du durch Substitution leicht integrieren. <br /> <br />Allerdings kannst du die maximale Geschwindigkeit auch anders bestimmen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 18:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Von wegen Differentialgleichung. Die maximale Geschwindigkeit ist erreicht, wenn die Beschleunigung Null, also die Gesamtkraft Null ist. Der Rest ist nur noch Auflösen nach v.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Sep 2013 18:15<span class="gen"> </span> Titel: Fallbewegung mit Luftwiderstand</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />wie der obigen Überschrift zu entnehmen ist, geht es bei meiner Frage um die Fallbewegung unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes. <br /> <br />Auf einen Fallschirmspringer der Masse m=75kg wirkt eine Reibungskraft F_r, welche proportinal zum Quadrat der Fallgeschwindigkeit v ist: F_r=kv^2 mit der Proportionalitätskonstanten k=0,29kg/m. <br /> <br />Welche Geschwindigkeit kann der Fallschirmspringer maximal erreichen, bevor er den Fallschirm öffnet? <br /> <br />Meine Idee: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F=F_g-F_r"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \cdot a=m \cdot g-k \cdot v^2"> <br /> <br />bzw. als Differenzialgleichung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \cdot \ddot{x}=m \cdot g-k \cdot (\dot{x})^2"> <br /> <br />Wie löse ich nun diese Differentialgleichung so, dass ich die Geschwindigkeit angeben kann? <br /> <br />Ich habe mich bisher noch nicht mit Differentialgleichungen beschäftigt, lediglich mit der sogenannten Separation, sprich Variablentrennung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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