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[quote="planck1858"]Hi, ich habe hier eine Gleichung zum eine Höhe h zu bestimmen. Ich würde die Gleichung gerne etwas so vereinfachen, fällt einem da noch etwas zu ein? [latex]h=\frac{c^2}{g}+c \cdot T-c\sqrt{\frac{c^2}{g^2}+\frac{2 \cdot c \cdot T}{g}}[/latex] Mfg Planck1858[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 22:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, habe die Gleichung jetzt nochmal vereinfacht und komme auch auf den Endausdruck. <br /> <br />Danke <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MrZettastic</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 21:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Na so richtig vereinfacht ist das noch nicht; da geht noch was! <br /> <br />Schlussendlich solltest du bei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h\approx \frac{1}{2}gT^2"> landen. <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 20:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So sollte es aber richtig sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MrZettastic</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 20:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Da habe ich mich unpräzise ausgedrückt... Du sollst natürlich die Wurzel insgesamt ersetzen (durch die drei Terme), i.e. das Wurzelsymbol darf sich verabschieden. Dann vereinfachen...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 20:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also folgt damit für die Höhendifferenz: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=c \cdot T+\frac{c^2}{g}\left(-\frac{g \cdot T}{c}+\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{2 \cdot g \cdot T}{c}\right)^2\right)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MrZettastic</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 20:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{1+x}\approx"> <br /> <br />verwende <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=\frac{2gT}{c} ">. <br /> <br />Ersetze nun den Wurzelterm in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=ct+\frac{c^2}{g}\left( 1-\sqrt{1+\frac{2gT}{c}}\right)"> durch die drei durch die Näherung entstandenen Terme...rechne.... <br /> <br />...das Ergebnis sollte dir dann sehr vertraut vorkommen...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2013 18:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wie kann ich nun die oben genannte Gleichung mit Hilfe folgenden Ausdrucks vereinfachen? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x<<1 gilt \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2013 15:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich danke dir.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MrZettastic</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2013 14:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du könntest den letzten Term deiner Gleichung schreiben als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{\frac{c^4}{g^2}+ \frac{2c^3 T}{g}} ">. <br /> <br />Nun <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? c^4 / g^2 "> aus der Wurzel holen und man erhält <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{c^2}{g}\sqrt{1+\frac{2gT}{c}} ">. <br /> <br />Ausklammern von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c^2 / g "> bringt dich auf folgende Darstellung deiner Gleichung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?cT+\frac{c^2}{g}\left( 1-\sqrt{1+\frac{2gT}{c} }\right)">. <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 22:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es geht dabei um die klassische Aufgabe die Tiefe eines Brunnens zu bestimmen. Ein Stein fällt in einen Brunnen, nach einer gewissen Zeit hört man den Aufschlag. <br /> <br />Ich soll nun eine Gleichung bestimmen, die die Höhendifferenz zwischen Brunnenboden und obere Brunnenöffnung in Abhänigkeit von c, g, und T darstellt. <br /> <br />Für die Fallbewegung des Steins gilt (gleichmäßig beschleunigte Bewegung): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2"> <br /> <br />Für die "Steigbewegung" des Schalls gilt (konstante Bewegung): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=c \cdot t_2"> <br /> <br />Für die Gesamtzeit gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T=t_1+t_2"> <br /> <br />Da beide Strecken gleich lang sind, nur unterschiedlich schnell durchlaufen werden, habe ich mich für die erste Gleichung entschieden. Um die Aufgabe zu lösen habe ich mithilfe der quadratischen Ergänzung einen Ausdruck für die Wurfdauer t_1 aufgestellt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t_1=\sqrt{\frac{c^2}{v^2}+\frac{2cT}{g}}-\frac{c}{g}"> <br /> <br />Diesen Ausdruck habe ich in die erste Gleichung eingesetzt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=\frac{g}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{c^2}{v^2}+\frac{2cT}{g}}-\frac{c}{g}\right)^2"> <br /> <br />Nachdem ich nun die zweite binomische Gleichung aufgelöst hatte kam ich dann für h auf den schon im obigen Beitrag genannten Ausdruck. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=\frac{c^2}{g}+c \cdot T-c\sqrt{\frac{c^2}{g^2}+\frac{2 \cdot c \cdot T}{g}}"> <br /> <br />Wie man sieht kommen in der Gleichung nur die oben genannten Parameter vor. Wäre dies ein korrekter Weg um die Aufgabe zu lösen? <br /> <br />Ps) Habe die Aufgabe schon mit Zahlenwerten durchgerechnet und komme auch mit meinem Ausdruck auf das gegebene Ergebnis.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 22:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>planck1858 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ok, ist ja nicht schlimm. Würde dir denn noch etwas einfallen, wie man die Gleichung vereinfachen könnte?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nee, außer dass man c noch ausklammern kann. Aber bringt das was? <br /> <br />Welches physikalische Szenario wird durch die Gleichung denn beschrieben?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 21:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, ist ja nicht schlimm. Würde dir denn noch etwas einfallen, wie man die Gleichung vereinfachen könnte?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 20:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">[quote="planck1858]]Also wenn ich in die Gleichung nur Einheiten einsetze, dann komme ich auf m.[/quote] <br /> <br />Ja, Du hast recht. Da hab' ich mich vertan.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 19:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier mal die Bedeutung der einzelnen Buchstaben. <br /> <br />c=Schallgeschwindigkeit [m/s] <br /> <br />g=Erdbeschleunigung [m/s²] <br /> <br />T=Zeit [s] <br /> <br />h=Höhe [m] <br /> <br />Also wenn ich in die Gleichung nur Einheiten einsetze, dann komme ich auf m.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 19:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In der Gleichung sind keine Einheiten zu sehen. Deshalb habe ich von Dimensionen gesprochen. Aber Du meinst das richtige und kannst natürlich die Einheiten der verwendeten Größen betrachten, wenn Du sie kennst. Ich kannte sie nicht, konnte sie mir aber herleiten. <br /> <br />Aus dem ersten und zweiten Term geht hervor, dass c die Dimension einer Geschwindigkeit hat. Der erste Term unter der Wurzel hat demnach die Dimension einer Länge, der zweite Term unter der Wurzel die Dimension Zeitquadrat. Wie soll das zusammenpassen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 19:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du meinst also, dass die Gleichung von den Einheiten her nicht stimmen kann?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 18:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Diese Gleichung stimmt dimensionsmäßig ganz und gar nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2013 18:24<span class="gen"> </span> Titel: Fallbewegung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />ich habe hier eine Gleichung zum eine Höhe h zu bestimmen. Ich würde die Gleichung gerne etwas so vereinfachen, fällt einem da noch etwas zu ein? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=\frac{c^2}{g}+c \cdot T-c\sqrt{\frac{c^2}{g^2}+\frac{2 \cdot c \cdot T}{g}}"> <br /> <br />Mfg Planck1858</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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