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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="TomS"]Ich hatte das vor kurzem in anderen Beiträgen diskutiert und stelle das hier mal zusammen.

Wir gehen aus von der allgemeine Formel für die Eigenzeit tau

[latex]\tau[C] = \int_C d\tau[/latex]

mit

[latex]d\tau = \sqrt{g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu} = dt\sqrt{g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\,\dot{x}^\nu}[/latex]

Bis hierher gilt die Gleichung in der ART in voller Strenge. Im Folgenden beschränkt man sich auf eine bestimmte Klasse von Raumzeiten, so dass die Zeitkoordinate entkoppelt, d.h. dass die Effekte der Krümmung Raum und Zeit nicht "mischen"

[latex]d\tau = dt\sqrt{g_{00}+g_{ik}\,\dot{x}^i\,\dot{x}^k}[/latex]

t ist die Koordinatenzeit, die für sich alleine noch keine physikalisch messbare Bedeutung hat.

----------

Betrachtet man einen ruhenden Körper, so reduziert sich die Formel zu

[latex]d\tau = dt\sqrt{g_{00}}[/latex]

Aus der Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen findet man letztlich

[latex]d\tau = dt\sqrt{1+\frac{2GM}{R}}[/latex]

wobei G die Gravitationskonstante und M bzw. R Erdmasse und -radius sind. Damit gilt

[latex]\tau = \int_0^T dt\sqrt{1+\frac{2GM}{R}} = \sqrt{1+\frac{2GM}{R}} \, T[/latex]

D.h. im Gravitationspotential ändert sich der Zeitverlauf bezogen auf eine im unendlichen sitzenden Beobachter, für den die Koordinatenzeit T und die Eigenzeit übereinstimmen.

----------

Nun betrachten wir den Fall eines tangential bewegten Objektes bei festem Bahnradius R+h. In diesem Fall trägt auch noch der Geschwindigkeitsterm bei, wobei wir hier die Näherung machen dürfen, dass die räumlichen Tensorkomponenten g alle gleich -1 gesetzt werden. D.h. es gilt

[latex]d\tau = dt\sqrt{1+\frac{2GM}{R+h}-v^2}[/latex]

----------

Für zwei verschiedene Beobachter i=1,2 mit zwei Eigenzeiten in zwei verschiedenen Höhen sowie mit zwei verschiedenen Geschwindigkeiten gilt dann

[latex]d\tau_i = dt\sqrt{1+\frac{2GM}{R+h_i}-v_i^2}[/latex]

Damit kann man durch Division den künstlichen Beobachter im Unendlichen mit Koordinatenzeit t = Eigenzeit eliminieren. Der Quotient enthält nur noch die Eigenzeiten tau.

Im Falle kleiner Geschwindigkeiten, schwacher Felder etc. kann man eine Taylorentwicklung der Wurzel vornehmen und diese eliminieren.

Ich habe hier c=1 gesetzt, d.h. du musst c wieder einführen.[/quote]

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