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[quote="Namenloser324"]Ich vermute, du meinst das Trägheitsmoment bezüglich der Achse zu dem der Torus rotationssymmetrisch ist? Das geht wie folgt: Zunächt lautet die allgemeine Trägheitsmomentformel: [latex]\int \! (r^2)*\varrho (\vec{r_V}) \, \dd V [/latex] wobei r der senkrechte Abstand von der Rotationsachse ist. Den senkrechten Abstand erhält man wohl am einfachsten in dem man schlicht das Kreuzprodukt bildet von Achse und Volumenelement (also Ortsvektor): [latex]r = |\vec{e} \times \vec{r_V}|[/latex] wobei r_V der Ortsvektor des betrachteten Volumenelements ist. Diesen entnimmst du en.wikipedia.org/wiki/Torus direkt bei "Geometry". Dann musst du für dV nur noch das Kugelkoordinatenvolumenelement einsetzen und in den richtigen Grenzen integrieren! Fertig![/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 20:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wiki ist mMn kein Lehrbuch, indem man jeden Schritt ausführlich vorrechnen sollte. Ich finde dort steht alles, was dort stehen muss. Es werden selbst die Stichworte genannt, die man wissen muss, um das Integral zu lösen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 20:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">erstmal drauf kommen. <br /> <br /><img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /> <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /> <br /> <br />man müsste halt die Darstellung in wiki "verbessern" (die einzelnen Schritte aufzeigen), "Profiansichten" sind nicht immer verstendlich, außer hald für Profis <br /> <br />du müsstet dein Schreiben 'Verfasst am: 06. Dez 2013 16:18' mit in wiki einfügen, 'es geht von A nach C wo bleibt B' damit man die Überführung von nach nachvollziehen kann, es fehlt ja nähmlich dieser Schritt durch das Fehlen dieses Schrittes ist halt das Trägheitsmoment (wie man drauf kommt) nicht "so gut" nachvollziehbar. <br /> <br />Danke für das einfügen des Fehlenden Schrittes <br /> <br /><img src="images/smiles/wink2.gif" alt="Wink" border="0" /> <img src="images/smiles/wink2.gif" alt="Wink" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 19:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ist doch richtig.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 19:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img src="images/smiles/erstaunt3.gif" alt="geschockt" border="0" /> <br /> <br />nur jetzt fehlt mir das integral über t <br /> <br />über r und p, geht aber über t da käme 2 pi raus <br /> <br />wenn ich es jetzt so nehme und einsetzte: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{r}\! r (R+r \cos p) ^3 \, \dd t \dd p \dd r "> <br /> <br />kämme ich auf <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1/2 \cdot \pi^2\cdot r^2\cdot R\cdot (3\cdot r^2+4\cdot R^2)"> <br /> <br />fast <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 16:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Sven S. hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">cos^2 p + sin^2 p =1 ??? --> cos(p)^2 + sin(p)^2 = 1 <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja das meinte ich, meins ist nur eine andere Schreibweise: sin^2(x)=(sin(x))^2 <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Jacobi-Determinante <br />damit kenne ich mich nicht aus. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dann solltest Du es Dir angucken. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />wie sieht dann die Überführung aus, mit der Vorgabe aus wiki? <br />müsste ich doch richtig geschrieben haben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, das Volumenelement ist nicht <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dV=dx \,dy\,dz \neq r^2 dr\, dp \,dt"> <br />sondern <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dV=dx \,dy\,dz = r (R+r \cos p) dr\, dp \,dt"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 15:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">cos^2 p + sin^2 p =1 ??? --> cos(p)^2 + sin(p)^2 = 1 <br /> <br />Jacobi-Determinante <br />damit kenne ich mich nicht aus. <br /> <br />Transformationssatz <br /> <br />wie sieht dann die Überführung aus, mit der Vorgabe aus wiki? <br /> <br />über:Volumen und Oberfläche <br /> <br />wie sieht dann die Überführung aus, mit der Vorgabe aus wiki? <br />müsste ich doch richtig geschrieben haben?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 14:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du musst benutzen dass: <br />cos^2 p + sin^2 p =1 <br /> <br />Ausserdem fehlt in Deiner Formel die Jacobi-Determinante für die Variablen-Transformation von x,y,z -> r,p,t. <br />Siehe auch: <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz" target="_blank">http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz</a> <br /> <br />Beides zusammen führt auf die Formel, die in Wiki angegeben ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 14:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">die ist mit angegeben <br /> <br />müsste man in wikipedia anpassen. <br /> <br />ich weiß aber immer noch nicht wie man auf das Ergebniss gekommen ist, denn ich komme nicht drauf <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> , es kommt bie mit immer nur mist raus!?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Namenloser324</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 01:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Und wo ist da die Massendichte?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2013 01:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">stammt alles aus: wikipedia.org/wiki/Torus <br /> <br />eingesetzt in: <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{T} (x^2+y^2) d^3 x"> <br /> <br />unter: Trägheitsmoment eines Volltorus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(((R+r\cdot cos(t))cos(p))^2+((R+r\cdot cos(t))sin(p))^2) \, "> <br /> <br />über: Volumen und Oberfläche <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \pi^2 \cdot R \cdot r^2 \left (\frac{3}{4} \cdot r^2+R^2 \right) "> <br /> <br />unter: Trägheitsmoment eines Volltorus</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Namenloser324</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2013 20:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Schreib mal auf wie du überhaupt auf deine Terme gekommen bist. Das sieht nämlich nicht richtig aus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2013 13:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">habe ich: <br /><img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{r}\! (((R+r\cdot cos(t))cos(p))^2+((R+r\cdot cos(t))sin(p))^2)\cdot r^2 \, \dd t \dd p \dd r "> <br /> <br />nur es kommt halt dich das hinaus was geschrieben steht. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \pi^2 \cdot R \cdot r^2 \left (\frac{3}{4} \cdot r^2+R^2 \right) = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{r}\! f(x) ??? \, \dd t \dd p \dd x "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Namenloser324</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2013 02:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich vermute, du meinst das Trägheitsmoment bezüglich der Achse zu dem der Torus rotationssymmetrisch ist? <br /> <br />Das geht wie folgt: <br /> <br />Zunächt lautet die allgemeine Trägheitsmomentformel: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \! (r^2)*\varrho (\vec{r_V}) \, \dd V "> <br /> <br />wobei r der senkrechte Abstand von der Rotationsachse ist. <br />Den senkrechten Abstand erhält man wohl am einfachsten in dem man schlicht das Kreuzprodukt bildet von Achse und Volumenelement (also Ortsvektor): <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r = |\vec{e} \times \vec{r_V}|"> <br /> <br />wobei r_V der Ortsvektor des betrachteten Volumenelements ist. <br />Diesen entnimmst du <br /> en.wikipedia.org/wiki/Torus <br />direkt bei "Geometry". <br />Dann musst du für dV nur noch das Kugelkoordinatenvolumenelement einsetzen und in den richtigen Grenzen integrieren! <br />Fertig!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sven S.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2013 00:27<span class="gen"> </span> Titel: Trägheitsmoment nicht nachvollziehbar</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Berechnung des Trägheitsmomentes eines Torus kann ich nicht kopplet nachvollziehen. <br /> <br />wie berechnte man das Trägheitsmoment eines Torus <br /> <br />in: wikipedia.org/wiki/Torus <br />unter: Trägheitsmoment eines Volltorus <br /> <br />Die Berechnung ist es zwar dargestellt, nur ich verstehe es nicht ganz und es kommt, wenn ich es nachrechne nur mist raus. <br /> <br />so weit verstanden: <br /> <br />dreifach integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{r}\! f(x) \, \dd t \dd p \dd x "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(x) = ?"> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?falsch: \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{r}\! (((R+r*cos(t))cos(p))^2+((R+r*cos(t))sin(p))^2) \, \dd t \dd p \dd x "> <br /> <br />wie kommt auf die Funktion des Trägheitsmomentes, Stück für Stück?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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