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[quote="Fontes"]Frohes Neues! :trink: Stimmt natürlich, wir interessieren uns für ein äußeres Feld und nicht für das Feld, das vom Dipol selbst erzeugt wird. Aber mir ist noch nicht ganz klar wie man auf diese Formel kommt. [quote="pressure"][latex]W=\int \rho(\vec r)\, \phi_\mathrm{ext}(\vec r) \,\dd^3 r[/latex][/quote] Für die Arbeit in einem externen Feld gilt doch: [latex]W = -\int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \! \vec{F} \, \dd \vec{r} = -q \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \! \vec{E} \, \dd \vec{r} = q \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \! \nabla \phi(\vec{r}) \, \dd \vec{r} = q (\phi(\vec{r_b}) - \phi(\vec{r_a})) = q \phi_{ext}(\vec{r})[/latex] Und wenn man statt Punktladung eine Ladungsverteilung wählt: [latex]\phi_{ext}(\vec{r}) \int_V \! \rho(\vec{r}) \, \dd ^3r[/latex] Sollte das Potential also nicht außerhalb des Integranden stehen? Oder habe ich gestern zu viel getrunken? :prost:[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jan 2014 10:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, dass Potential gehört natürlich in das Integral. Schließlich gibt es ja ortsabhängig die potentielle Energie einer Probeladung an. Du musst nun über alle infinitesimalen Ladungen mit dem Potential am jeweiligen Ort der Ladung gewichtet summieren. Im kontinuierlichen Grenzprozess entspricht dem gerade dem Integral über Ladungsdichte multipliziert mit dem externen Potential an der gleichen Position. Für deinen Vorschlag hätte die potentielle Energie zudem eine Ortsabhängigkeit? <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Fontes</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jan 2014 08:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Frohes Neues! <img src="images/smiles/trink4.gif" alt="Prost" border="0" /> <br /> <br />Stimmt natürlich, wir interessieren uns für ein äußeres Feld und nicht für das Feld, das vom Dipol selbst erzeugt wird. Aber mir ist noch nicht ganz klar wie man auf diese Formel kommt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>pressure hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W=\int \rho(\vec r)\, \phi_\mathrm{ext}(\vec r) \,\dd^3 r"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Für die Arbeit in einem externen Feld gilt doch: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W = -\int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \! \vec{F} \, \dd \vec{r} = -q \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \! \vec{E} \, \dd \vec{r} = q \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \! \nabla \phi(\vec{r}) \, \dd \vec{r} = q (\phi(\vec{r_b}) - \phi(\vec{r_a})) = q \phi_{ext}(\vec{r})"> <br /> <br />Und wenn man statt Punktladung eine Ladungsverteilung wählt: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_{ext}(\vec{r}) \int_V \! \rho(\vec{r}) \, \dd ^3r"> <br /> <br />Sollte das Potential also nicht außerhalb des Integranden stehen? Oder habe ich gestern zu viel getrunken? <img src="images/smiles/prost.gif" alt="Prost" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2013 14:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was du versuchst zu berechnen ist das Potential, dass der Dipol hervorruft. Danach ist aber nicht gefragt, schließlich geht es ja nicht um die Selbstwechselwirkungsenergie des Dipols, sondern um der mit dem externen elektrischen Feld. Die gesuchte Größe ist gegeben durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W=\int \rho(\vec r)\, \phi_\mathrm{ext}(\vec r) \,\dd^3 r"> <br /> <br />,wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_\mathrm{ext}(\vec r)"> das Potential des externen elektrischen Feldes ist. Wegen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec E = -\nabla \phi_\mathrm{ext}"> folgt für das homogene elektrische Feld <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_\mathrm{ext}=-\vec r \cdot \vec E + C">. <br /> <br />Das verbleibende Integral bekommst du sicher alleine hin - ich wünsche einen guten Rutsch. <img src="images/smiles/prost.gif" alt="Prost" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Fontes</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Dez 2013 20:45<span class="gen"> </span> Titel: Energie Dipol in einem E-Feld</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe einen Dipol <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(\vec{r}) = q \delta(\vec{r} - \vec{a}) - q \delta(\vec{r} + \vec{a})"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a} = a \vec{e}_x">. <br /> <br />Ich habe zu zeigen, dass die Energie in einem konstanten externen Feld <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{E}"> ist: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V = - 2 q \vec{a} \vec{E}"> <br /> <br /> <br /> <br />Meine Rechnung: <br /> <br />Mittels: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \! \rho(\vec{r}') \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \, d^3r' "> <br /> <br />habe ich berechnet für das Potential: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(\vec{r}) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{1}{|\vec{r} - \vec{a}|} - \frac{1}{|\vec{r} + \vec{a}|})"> <br /> <br />Die Energie ist dann: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(\vec{r}) = \phi(\vec{r}) q"> <br /> <br />Also bekomme ich für die Energie: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(\vec{r}) = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{1}{|\vec{r} - \vec{a}|} - \frac{1}{|\vec{r} + \vec{a}|})"> <br /> <br />Aber ich verstehe nicht, wieso das gleich dem Ausdruck <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-2q \vec{a} \vec{E}"> sein soll. Vor allem, da das E-Feld im Nenner Betragsquadrate hat. Und das Potential eben nicht (es sei denn, ich übersehe hier irgendeine triviale Umformung). <br /> <br />Ideen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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