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[quote="Jayk"]Ah, okay. Das macht wirklich Sinn. Danke! :thumb:[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jan 2014 13:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ah, okay. Das macht wirklich Sinn. Danke! <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sirius</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jan 2014 13:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mathematisch korrekt werde ich es dir nicht erklären können, aber vielleicht kann ich dir trotzdem weiterhelfen. <br /> <br />Im obigen Fall gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=t^*"> und somit auch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dd t=\dd t^*">, wie du schon weiter vorne gesagt hast. Die Unterscheidung zwischen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t^*"> mache ich deswegen, um bei den zeitlichen Ableitungen besser zu sehen, aus welchem System heraus ich sie betrachte. Denn auch wenn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dd t=\dd t^*">, gilt trotzdem: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left(\frac{\dd}{\dd t}\right)_\Sigma=\frac{\dd}{\dd t}\neq\left(\frac{\dd}{\dd t}\right)_{\Sigma^*}=\frac{\dd}{\dd t^*}"> <br /> <br />Die zeitliche Änderung eines Vektors aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma"> heraus betrachtet ist einfach etwas anderes, als die zeitliche Änderung des gleichen Vektors von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma^*"> aus gesehen. Das sieht man gut, wenn man mal den einfachsten Fall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}=\mathrm{const}"> betrachtet: in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma"> komme ich zur Aussage, dass die zeitliche Änderung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}"> Null ist, in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma^*"> hingegen führt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}"> eine Drehbewegung aus. Auch wenn also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dd t=\dd t^*">, so muss ich trotzdem schreiben: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd\vec{r}}{\dd t}=\dot{\vec{r}}=\frac{\dd\vec{r}^*}{\dd t}\neq\frac{\dd\vec{r}}{\dd t^*}=\frac{\dd\vec{r}^*}{\dd t^*}=\dot{\vec{r}}^*"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jan 2014 13:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Rechnung wirkt plausibel. Ich muss aber nochmal darüber nachdenken, denn irgendwie klingt die Idee, zwei verschiedene Zeiten zu betrachten, etwas zu mystisch für mich. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> Insbesondere habe ich noch ein paar Zweifel, ob das wirklich der Grund für das Ergebnis der Rechnung ist. Kannst du so spontan sehen, an welcher Stelle der entscheidende Unterschied ist? Ich sehe ihn im Moment nicht. Es wäre auch interessant, mal noch eine Drittmeinung dazu zu hören. <br /> <br />Womit ich mich im Moment mehr anfreunden kann, ist der Gedanke, dass aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r(t) = \vec r' (t) (\forall t)"> nicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r(t + \tau ) - \vec r (t) = \vec r' (t + \tau ) - \vec r' (t)"> folgt, weil die Vektoren eben "in different spaces" liegen. Zwar steht im Arnol'd als Definition einer "motion", dass die Metrik erhalten bleiben soll. Die Metrik wird aber in Kapitel 1 definiert: Betrachtet wird stets ein vierdimensionaler affiner Raum, wobei die Differenz zwischen zwei Elementen eines affinen Raums ein Element eines Vektorraums ist. Dann wird erst die Zeit als lineare Abbildung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t: \mathbb R^4 \to \mathbb R"> eingeführt, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\operatorname{Ker} (t)"> die Parallelverschiebungen zwischen gleichzeitigen Ereignissen beschreibt. Und nur für solche wird die Distanz definiert: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho (a, b) = \| a - b \| = \sqrt{(a - b, a - b)}, a - b \in \operatorname{Ker}(t) \simeq \mathbb R^3">. Ich gehe davon aus, dass Arnol'd "metric" und "distance" synonym verwendet. <br /> <br />Am Ende stünde dann also die Erkenntnis, dass Rechnungen mit Radiusvektoren zu verschiedenen Zeitpunkten prinzipiell vom Koordinatensystem abhängig sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sirius</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 23:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sirius, ich sehe nicht, was das ändert. Wenn ich Zeit definiere als das, was eine Uhr anzeigt, habe ich doch ohne Weiteres <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d t = d t'">, oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nehmen wir an, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma"> sei ein Inertialsystem mit Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma^*"> ein relativ dazu mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{\omega}"> rotierendes System mit gleichem Ursprung und Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\vec{e}_1^*,\vec{e}_2^*,\vec{e}_3^*)">. Dann gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}=\sum\limits_{i=1}^3x_i\vec{e}_i=\sum\limits_{j=1}^3x_j^*\vec{e}_j^*=\vec{r}^*"> <br /> <br />Für die Geschwindigkeiten erhalte ich dann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}=\frac{\dd\vec{r}}{\dd t}=\frac{\dd}{\dd t}\sum\limits_{j=1}^3x_j^*\vec{e}_j^*=\sum\limits_{j=1}^3\frac{\dd x_j^*}{\dd t}\vec{e}_j^*+x_j^*\frac{\dd\vec{e}_j^*}{\dd t}=\sum\limits_{j=1}^3\frac{\dd x_j^*}{\dd t^*}\vec{e}_j^*+x_j^*\frac{\dd\vec{e}_j^*}{\dd t}=\vec{v}^*+\vec{\omega}\times\vec{r}=\frac{\dd\vec{r}^*}{\dd t}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}^*=\frac{\dd\vec{r}^*}{\dd t^*}=\frac{\dd}{\dd t^*}\sum\limits_{i=1}^3x_i\vec{e}_i=\sum\limits_{i=1}^3\frac{\dd x_i}{\dd t^*}\vec{e}_i+x_i\frac{\dd\vec{e}_i}{\dd t^*}=\sum\limits_{j=1}^3\frac{\dd x_i}{\dd t}\vec{e}_i+x_i\frac{\dd\vec{e}_i}{\dd t^*}=\vec{v}-\vec{\omega}\times\vec{r}=\frac{\dd\vec{r}}{\dd t^*}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 22:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was meinst du?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich meine, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = \vec r"> nicht zu allen Zeitpunkten gilt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ah, okay. Mit dem Hinweis von Arnol'd wird eine Aussage wie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = \vec r"> natürlich sinnlos. Wenn man aber mal von solchen Kleinigkeiten absieht, kann man zumindest aussagen, dass Ursprung der Koordinatensysteme sowie der Aufenthaltsort des betrachteten Teilchens in beiden Systemen zu allen Zeitpunkten gleich sind, womit auch der Vektor, der die beiden Punkte verbindet (nämlich der Radiusvektor), zu allen Punkten gleich ist. Was spricht dagegen? Wie würdest die die Aussage richtig formulieren?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 22:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was meinst du?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich meine, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = \vec r"> nicht zu allen Zeitpunkten gilt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 22:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>adsadsd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Koordinatenunabhängig kann man es mit Hilfe eines Tangentialraums definieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das klingt interessant. Ich werde mir zum Tangentialraum mal die entsprechenden Stellen im Arnol'd und im Scheck ansehen. Ich vermute aber, das ist die Antwort, die ich gesucht habe. <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Oder umgekehrt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was meinst du? Ich dachte bis jetzt immer, die Definition von Geschwindigkeit wäre die Ableitung des Ortsvektors, und dann hätte ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v (t ) = \lim_{\tau \to 0} \frac{\vec r (t + \tau ) - \vec r (t)}{\tau} = \lim_{\tau \to 0} \frac{\vec r' (t + \tau ) - \vec r' (t)}{\tau} = \vec v ' (t)"> <br /> <br />Oder meinst du, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' \neq \vec v + \Omega \times \vec r"> ist? Also ich finde das zumindest anschaulich, dass es so ist, und würde eine Definition, die das nicht hergibt, als unzweckmäßig betrachten. Immerhin wird aus dieser Aussage eine richtige Aussage hergeleitet (nämlich u. a. die Coriolis-Kraft), dann scheint sie wohl zweckmäßig zu sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>adsadsd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 21:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Koordinatenunabhängig kann man es mit Hilfe eines Tangentialraums definieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 21:39<span class="gen"> </span> Titel: Re: Definition von Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn zu allen Zeitpunkten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = \vec r"> gilt, dann wäre mit der Definition als Ableitung des Radiusvektors nach der Zeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = d \vec r' / d t = d \vec r / d t = \vec v">, aber für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec \Omega \times \vec r \neq 0"> sind die beiden ja eben gerade nicht gleich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Oder umgekehrt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Namenloser324</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 21:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vermutung: Unterschiedliche Basis. Dadurch hat das selbe Element des Vektorraumes eine andere Koordinatendarstellung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 21:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Sirius, ich sehe nicht, was das ändert. Wenn ich Zeit definiere als das, was eine Uhr anzeigt, habe ich doch ohne Weiteres <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d t = d t'">, oder? (EDIT: Abgesehen davon muss es doch einen Zusammenhang zwischen den Zeiten geben, damit die Aussagen überhaupt einen Sinn haben, und in der klassischen Mechanik sollte es doch kein Fehler sein, eine absolute Zeit anzunehmen) <br /> <br />Apropos Arnol'd, ich war bis jetzt noch gar nicht auf die Idee gekommen, dass das Buch eigentlich wie gemacht ist für die Frage. Ich bin hier auf eine interessante Stelle gestoßen (Kapitel 6, "Rigid bodies", bei mir auf Seite 124): <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Definition. Let k und K be oriented euclidean spaces. A motion of K relative to k is a mapping smoothly depending on t: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D_t: K \to k">, <br /> <br />which preserves the metric and the orientation. ... <br /> <br />[Kontext: Bt bezeichnet eine Rotation, Definition: <br />A motion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D_t"> is called a rotation if it takes the origin of K to the origin of k, i.e., if <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D_t"> is a linear operator.] <br /> <br />Warning. The vector <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?B_t \vec Q (t) \in k"> should not be confused with <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec Q (t) \in K"> – they lie in different spaces!</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Hat jemand Lust, mir zu erklären, wie die Warnung zu verstehen ist? Das klingt jetzt so ein bisschen wie "darüber darf man nicht reden, das ist nicht definiert". Was genau macht die beiden Räume unterschiedlich?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sirius</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 21:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bei solchen Betrachtungen lohnt es sich meiner Erfahrung nach immer, auch die Zeit zwischen den Systemen explizit zu unterscheiden, also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'">. So sind z.B. die Basisvektoren von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?K"> abhängig von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'"> und die von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?K'"> abhängig von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t">. Die Geschwindigkeit ist damit identisch definiert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}=\frac{\dd\vec{r}}{\dd t}\quad\text{und}\quad\vec{v}'=\frac{\dd\vec{r}'}{\dd t'}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 20:59<span class="gen"> </span> Titel: Re: Definition von Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Okay, offenbar gelten nicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = d \vec r' / d t"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v = d \vec r / d t"> gleichzeitig</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Sicher?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wenn zu allen Zeitpunkten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r' = \vec r"> gilt, dann wäre mit der Definition als Ableitung des Radiusvektors nach der Zeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = d \vec r' / d t = d \vec r / d t = \vec v">, aber für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec \Omega \times \vec r \neq 0"> sind die beiden ja eben gerade nicht gleich. <br /> <br />Anschaulich ist es so, dass ein Körper in einem rotierenden Bezugssystem eine Geschwindigkeit hat, wenn er in einem nicht rotierenden Bezugssystem mit demselben Ursprung ruht. Das Problem muss doch irgendwie formulierbar sein, ohne Koordinaten festzulegen. Dachte ich jedenfalls, wobei diese Idee ganz schön absurd ist, da ja der Ausdruck "rotierend" schon impliziert, dass man irgendwelche Richtungen fixiert. <br /> <br />Im Buch "Mathematical Methods of Classical Mechanics" von Arnol'd wird ein "galilean coordinate-space" im wesentlichen dadurch definiert, dass er einen Punkt im affinen Raum in den <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb R^3"> abbildet, wobei allerdings mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb R^3"> einfach nur ein dreidimensionaler reeller Vektorraum gemeint ist, kann also sowohl ein euklidischer Vektor als auch die Koordinatendarstellung sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 20:49<span class="gen"> </span> Titel: Re: Definition von Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie ist Geschwindigkeit definiert?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Üblicherweise als Ableitung des Ortes nach der Zeit. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">(Insbesondere in Nicht-Inertialsystemen)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das spielt keine Rolle. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jayk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Okay, offenbar gelten nicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = d \vec r' / d t"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v = d \vec r / d t"> gleichzeitig</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Sicher?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2014 20:25<span class="gen"> </span> Titel: Definition von Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Wie ist Geschwindigkeit definiert? (Insbesondere in Nicht-Inertialsystemen)<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Es ist mir schon ein bisschen peinlich, dass ich diese Frage stellen muss, aber ich tue es trotzdem. Um die Frage zu verstehen, vielleicht erstmal der Grund, weshalb ich die Frage stelle. Ich bin im Landau/Lifschitz Bd. 1, §39 "Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem", S. 157 über folgende Stelle gestolpert:<br /><br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><br />Wir führen nun noch ein Bezugssystem K ein, das mit dem System K' einen gemeinsamen Nullpunkt hat, sich aber gegen K' mit der Winkelgeschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec \Omega (t)"> dreht; im Inertialsystem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?K_0"> führt das System K sowohl eine Translations- als auch eine Rotationsbewegung aus.<br /><br />Die Geschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v'"> des Teilchens bezüglich des Systems K' setzt sich aus seiner Geschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v"> im System K und aus der Geschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec \Omega \times \vec r"> seiner Rotation zusammen, die es mit dem System K gemeinsam durchführt, also<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = \vec v + \vec \Omega \times \vec r"><br /><br />(die Radiusvektoren <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r'"> des Teilchens in den Systemen K und K' fallen zusammen).<br /></td> </tr></table><span class="postbody"><br /><br />Okay, offenbar gelten nicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = d \vec r' / d t"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v = d \vec r / d t"> gleichzeitig, womit sich die Frage gestellt, wie, wenn nicht als Zeitableitung des Radiusvektors, Geschwindigkeit definiert ist. Ist mein Problem erstmal verständlich?<br /><br />Okay, mir ist natürlich die Formulierung "fallen zusammen" aufgefallen. Ich habe das jetzt einfach als Gleichheit interpretiert, es geht hier ja in etwa um euklidische Vektoren. Also ich habe jetzt kein Problem damit, über Einheiten hinweg zu sehen, aber ich würde hier gerne zwischen den euklidischen Vektoren und ihren Darstellungen im <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb R^3"> unterscheiden.<br /><br />Mir ist zunächst mal etwas aufgefallen. Wenn man nämlich Geschwindigkeit komponentenweise definiert, ergibt sich dieses Problem nicht. Ich werde hier zur Unterscheidung euklidischen Vektoren einen Pfeil verpassen und Vektoren im R³ ganz normal kursiv (und fett, wie es in diesem Forum nun mal leider ist) setzen. Wenn ich jetzt zwei Systeme K und K' mit Basen B und B' habe (wobei B zeitlich konstant sei), die einen gemeinsamen Ursprung haben, ist natürlich der Radiusvektor der selbe. Ich kann dann ansetzen (in der Schreibweise, die wir in Linearer Algebra verwenden):<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r' = \phi_{B'} (\vec r ) \quad r = \phi_B (\vec r)"><br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v' = d/dt (r') \quad v = d/dt (r)"><br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = \phi_{B'}^{-1} ( v' ) \quad \vec v = \phi_B^{-1} v "><br /><br />und damit habe ich folgenden Zusammenhang<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v' = \phi_{B'}^{-1} ( \dot \phi_{B'} (\vec r ) + \phi_{B'} (\vec v ) ) = \vec v + \phi_{B'}^{-1} ( \dot \phi_{B'} (\vec r ) ),"><br /><br />was ja zumindest vernünftig erscheint. Nur finde ich es nicht befriedigend, Geschwindigkeit koordinatenabhängig zu definieren?<br /><br />Wie löst man diesen Widerspruch? Ich weiß natürlich "so ungefähr", wie die Stelle im Landau/Lifschitz gemeint ist, aber ich würde es gerne genau wissen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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