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[quote="jh8979"][quote="Margarita90"] das hat tatsächlich funktioniert, auch wenn mir nicht klar ist, warum man das machen darf (wenn man es überhaupt darf). Gibt es eine mathematische Begründung, die es erlaubt, munter von einer Dimension zur anderen zu wechseln?[/quote] Das funktioniert, weil Du schon weisst, dass [latex]\dot q[/latex] und [latex]p[/latex] kollinear sind, dann genügt es einfach die Beträge auszurechnen, z.B. indem man auf beide Seiten das Skalarprodukt mit sich selber bildet.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2014 20:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nun, mit etwas Indexgymnastik kann man das sicher auch direkt in drei Dimensionen berechnen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2014 13:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Margarita90 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />das hat tatsächlich funktioniert, auch wenn mir nicht klar ist, warum man das machen darf (wenn man es überhaupt darf). Gibt es eine mathematische Begründung, die es erlaubt, munter von einer Dimension zur anderen zu wechseln?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das funktioniert, weil Du schon weisst, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p"> kollinear sind, dann genügt es einfach die Beträge auszurechnen, z.B. indem man auf beide Seiten das Skalarprodukt mit sich selber bildet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Jan 2014 12:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo TomS, <br /> <br />das hat tatsächlich funktioniert, auch wenn mir nicht klar ist, warum man das machen darf (wenn man es überhaupt darf). Gibt es eine mathematische Begründung, die es erlaubt, munter von einer Dimension zur anderen zu wechseln? <br /> <br />Die "ordentliche" Lösung bekommt man übrigens, wenn man mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\langle \dot q,p \rangle"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\langle \dot q, \dot q \rangle"> in Abhängigkeit von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q, \dot q"> ausdrückt. <br /> <br /> <br />Danke nochmal und viele Grüße!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2014 06:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wir gesagt, denk dir das Problem zunächst mal eindimensional. Dann kannst du die Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{q} = \frac{1}{\sqrt{a^2+p^2}}p"> <br /> <br />explizit nach p auflösen und daraus die Lagrangefunktion konstruieren. <br /> <br />Evtl. liefert dir das einen Hinweis, wie es für drei Dimensionen funktioniert. Ich gehe davon aus, dass eine Ersetzung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{q}^2 \to \langle\dot{q},\dot{q}\rangle"> <br /> <br />ausreicht, um wieder von einer auf drei Dimensionen überzugehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2014 00:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br />danke für deine Antwort. p und q sind dreidimensional. <br /> <br />Mit relativistischer Dynamik hat es meines Wissens nichts zu tun... <br /> <br />Ich soll halt erst die Hamiltongleichungen aufschreiben (hab ich), dann die Langrangegleichung konstruieren (meine Frage hier) und danach muss ich noch die Euler-Lagrange-Gleichungen aufschreiben (was ich nicht kann ohne das zweite...).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2014 23:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn es sich um ein eindimensionales Problem handelt, kannst du m.E. tatsächlich einfach auflösen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2014 22:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Handelt es sich um ein mehrdimensionales Problem? Hat die Aufgabenstellung etwas mit der relativistischen Dynamik zu tun? (da kennt man ähnliche Formeln, die lästige Quadratwurzeln enthalten)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2014 21:19<span class="gen"> </span> Titel: Lagrangefkt. aus Hamiltonfkt.</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br /><br />ich habe eine Hamiltonfunktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{H}(q,p)=\sqrt{a^2+\langle p,p \rangle}+\langle b, q \rangle,~~~a>0, b \in \mathbb{R}^3"> gegeben. Nun soll daraus die Lagrangefunktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{L}(q, \dot q)"> konstruiert werden.<br /><br />Prinzipiell ist mir bekannt, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{L}= \langle p,\dot q \rangle - \mathcal{H}"> gilt.<br /><br />Nun hängt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{L}"> ja nur von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q, \dot q"> ab, nicht von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p">. Nach den Hamiltongleichungen gilt<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q = \frac{1}{\sqrt{a^2+\langle p,p \rangle}}p">.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br /><br />Mein Problem ist jetzt, dass ich das nicht einfach nach p umstellen kann, um es dann in Abhängigkeit von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot q"> bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{L}"> einzusetzen.<br /><br /><br />Kann mir bitte jemand weiterhelfen?<br /><br />Lieben Dank und viele Grüße!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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