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[quote="TomS"][quote="bassiks"]2.) Potentielle Energie: ... Damit folgt für das Potential: [latex] V(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=-\frac{k|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2}{2} [/latex][/quote] Der Vorteil des Lagrangeformalismus ist eigtl. gerade der, dass man die Kraft NICHT zu kennen braucht, sondern dass man direkt den Ansatz [latex]L = T - V[/latex] benutzt. Die Kraft F erscheint dann als abgeleitete Größe in den Euler-Lagrange-Gleichungen. Einer harmonischen Kraft liegt das Potential des harmonischern Osillators zugrunde. Dieses lautet [latex]V(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\frac{k}{2}|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2 [/latex] => Vorzeichen korrigiert.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Feb 2014 13:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay... dann sollte ich das jetzt hinbekommen haben. <br /> <br />Wenn ihr Lust habt, könnt ihr gern mal schauen, ob ich mich auch nicht verrechnet habe: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T=\frac{1}{2}(r^2(\dot \theta^2+\dot \phi^2)+h^2 \cos^2(\phi) \dot \phi^2)"> <br />und <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V=kr^2(1-\cos (\theta - \phi))+\frac{k}{2}h^2 \sin^2(\phi)"> <br /> <br />Danke nochmal für eure Hilfe. War letztendlich gar nicht so schwer, aber ich kannte solche Aufgaben noch nicht und wusste einfach nicht, was eigentlich zu tun ist. Ihr habt mir sehr geholfen! <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>bassiks</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2014 18:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nun ja, wenn die Teilchen interagieren würde es Sinn machen wenn sie sich beide im <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^3"> befinden. Würde also z=0 wählen für das Teilchen in der Ebene und ich kann mir auch nicht vorstellen dass das nicht so gemeint ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2014 18:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hey Leute, <br /> <br />habt ihr vielleicht noch ne Rückmeldung für mich? Eine Info zu der Dimensionssache bzgl. des Abstandes wär super!!! <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Jan 2014 14:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo ihr zwei, <br /> <br />vielen Dank für eure Hilfe! <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />Ich hab mit der kinetischen Energie angefangen. Die ist doch <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T=\frac{1}{2}(\langle \dot x^{(1)}, \dot x^{(1)} \rangle + \langle \dot x^{(2)}, \dot x^{(2)} \rangle)"> mit dem 1. Partikel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^{(1)}"> und dem 2. Partikel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^{(2)}">. <br /> <br />Und jetzt zur potentiellen Energie. Wenn die vom Abstand der zwei Partikel abhängt und die Partikel unterschiedliche Dimensionen haben, kann ich das doch eigentlich gar nicht bestimmen? Zumindest ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben, dass sich der 1. Partikel in der <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x_1,x_2)">-Ebene befindet und somit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_3^{(1)}=0"> ist. <br />Meint ihr, ich kann / soll das so annehmen? Oder ist vielleicht sowieso falsch gedacht? <br /> <br /> <br />Viele Grüße!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>bassiks</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jan 2014 13:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke. <br /> <br />PS: Hab mich auch gewundert warum die Kraft gegeben ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jan 2014 11:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>bassiks hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">2.) Potentielle Energie: <br /> <br />... <br /> <br />Damit folgt für das Potential: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />V(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=-\frac{k|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2}{2} <br />"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der Vorteil des Lagrangeformalismus ist eigtl. gerade der, dass man die Kraft NICHT zu kennen braucht, sondern dass man direkt den Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L = T - V"> <br /> <br />benutzt. Die Kraft F erscheint dann als abgeleitete Größe in den Euler-Lagrange-Gleichungen. <br /> <br />Einer harmonischen Kraft liegt das Potential des harmonischern Osillators zugrunde. Dieses lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\frac{k}{2}|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2 <br />"> <br /> <br />=> Vorzeichen korrigiert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>bassiks</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jan 2014 06:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">1.) Kinetische Energie: <br />Ich nehme mal an wir sind hier im nicht relativistischen Fall (v<<c). Die kinetische Energie ist dann gegeben durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />E_{kin,i}=\frac{m\dot{\vec{r}}_i^2}{2}, i\in\{1,2\} <br />"> <br /> <br />wobei der Punkt die Zeitableitung bedeutet (hier Produktregel und Kettenregel benutzen!). <br /> <br />2.) Potentielle Energie: <br />Da die Gravitation vernachlässigt wird, und auch ansonsten keine Ladung etc. vorhanden ist, ist die einzige Kraft die wirkt eine "elastische" Kraft. Ich nehme mal an dass es sich hierbei um eine Kraft der Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\vec{F}_i=k|\vec{r}_j-\vec{r}_i|\left(\frac{\vec{r}_j-\vec{r}_i}{|\vec{r}_j-\vec{r}_i| }\right) <br />"> <br /> <br />handelt (in deinem Fall ist |x| der Abstand zwischen den beiden Teilchen). Eine solche Kraft ist das Resultat eines Potentials welches wie folgt zusammenhängt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\vec{F}=-\vec{\nabla}V <br />"> <br /> <br />Damit folgt für das Potential: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />V(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=-\frac{k|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2}{2} <br />"> <br /> <br />Damit solltest du nun in der Lage sein die Lagrangefunktion zu bestimmen. <br /> <br />EDIT: Ich hab noch etwas editiert damit man sieht in welche Richtung die Kraft wirkt und da war auch ein Fehler drin.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Margarita90</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jan 2014 22:53<span class="gen"> </span> Titel: Lagrangefunktion aufstellen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo ihr Lieben, <br /> <br />folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen: <br />Gegeben sind 2 Partikel (Punktmassen, Masse=1) im <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^3">. <br />Partikel Nr. 1 bewegt sich entlang eines Kreises in der horizontalen Ebene, parametrisiert durch <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x_1,x_2)=r(\cos \theta, \sin \theta),~~r \geq 0, \theta \in [0,2 \pi )">. <br />Der 2. Partikel bewegt sich auf der Kurve <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x_1,x_2,x_3)=(r \cos \phi ,r \sin \phi, h \sin \phi),~~r,h \geq 0, \phi \in [0, 2 \pi )"> <br /> <br />Nun soll angenommen werden, dass die Partikel über eine <span style="font-style: italic">elastische Kraft</span> mit Kontante <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k>0"> interagieren. Das Gravitationsfeld wird vernachlässigt. <br /> <br />Aufgabe ist es, die Lagrangefunktion dieses Systems aufzustellen. <br /> <br />Da es sich hier um eine mathematische Vorlesung handelt, kenne ich mich mit den Hintergründen nicht so richtig aus... was bedeutet die Lagrangefunktion eigentlich? <br /> <br />Bei Wikipedia steht, sie sei die Differenz von kinetischer und potentieller Energie eines Systems... Allerdings weiß ich nicht, was ich mit dieser Erkenntnis anfangen soll. Keine Ahnung, wie ich diese Energien in dem zugrundeliegenden Beispiel bestimme. <br /> <br />Wer weiß Rat? <br /> <br /> <br />Lieben Dank im Voraus!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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