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[quote="TomS"]Allgemein kann man wir folgt argumentieren: [latex]\bar{v} = \frac{S}{T}[/latex] wobei S und T für Gesamtstrecke und Zeit stehen. Nun sei v(t) als Funktion der Zeit bekannt. Dann ist [latex]S = \int_0^S ds = \int_0^T dt\,\frac{ds}{dt} = \int_0^T dt\,v(t)[/latex] Damit gilt [latex]\bar{v} = \frac{1}{T} \int_0^T dt\,v(t)[/latex] wie es für eine normale Mittelwertbildung sein muss (Achtung: das gilt nicht, wenn v z.B. als v(s) gegeben ist!) Für abschnittsweise konstante Geschwindigkeiten folgt [latex]\bar{v} = \frac{1}{T} \sum_n v_n\,\Delta t_n[/latex][/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Feb 2014 00:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Allgemein kann man wir folgt argumentieren: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v} = \frac{S}{T}"> <br /> <br />wobei S und T für Gesamtstrecke und Zeit stehen. <br /> <br />Nun sei v(t) als Funktion der Zeit bekannt. Dann ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S = \int_0^S ds = \int_0^T dt\,\frac{ds}{dt} = \int_0^T dt\,v(t)"> <br /> <br />Damit gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v} = \frac{1}{T} \int_0^T dt\,v(t)"> <br /> <br />wie es für eine normale Mittelwertbildung sein muss (Achtung: das gilt nicht, wenn v z.B. als v(s) gegeben ist!) <br /> <br />Für abschnittsweise konstante Geschwindigkeiten folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v} = \frac{1}{T} \sum_n v_n\,\Delta t_n"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>uts</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Feb 2014 22:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hab doch genau dasselbe getan... <br /> <br />Kam mir nur komisch vor, bei "Hälfte der Strecke" kam nämlich eine etwas kniffligere Herleitung bei raus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>as_string</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Feb 2014 19:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Naja, außer dass Du das etwas merkwürdig gerechnet/hergeleitet hast, was führt Dich zu der Annahme, dass es falsch wäre? <br /> <br />Normalerweise würde man eher sagen: <br />Strecke, die in der ersten Zeithälfte zurück gelegt wurde ist: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_1 = v_1\cdot \frac{T}{2}"> <br />In der zweiten Hälfte: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_2 = v_2\cdot \frac{T}{2}"> <br />gibt zusammen: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_\text{ges} = x_1 + x_2 = v_1\cdot \frac{T}{2} + v_2\cdot \frac{T}{2} = \frac{v_1 + v_2}{2}\cdot T"> <br />Durchschnittsgeschwindigkeit: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v} = \frac{x_\text{ges}}{T} = \frac{v_1 + v_2}{2}"> <br /> <br />Gruß <br />Marco</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>uts</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Feb 2014 19:06<span class="gen"> </span> Titel: durchschnittliche Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ein auto fährt die Hälfte der zeit 55 km/h, die andere Hälfte 90 km/h. Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v_1 = \frac {x_1}{t_1} = \frac {2x_1}{t}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v_2 = \frac {2x_2}{t} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v_{ges} = \frac {x_1+x_2}{t} = \frac {\frac {v_2 t}{2} + \frac {v_1 t}{2}}{t} =\frac {v_1+v_2} 2 "> <br /> <br />Wo ist mein denkfehler?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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