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[quote="jh8979"]Das ist ja nun nicht so schwer :)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Feb 2014 13:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich danke dir erstmal, wenn ich heute Abend Zeit und Ruhe habe, werde ich mich nochmal ganz in Ruhe an die Lorentztrafo setzen und diese zu verstehen. Gleich werde ich anfangen Theormodynamik zu lernen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>alex2007</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Feb 2014 22:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Matrix kannst einfach mal als gegeben hinnehmen. Das was ich da hingeschrieben habe sind die entsprechenden Vorschriften für eine Lorentztransformation. Die gilt immer genau so. Auf die Rücktransformationsmatrix kommt man durch umstellen und Einsetzen. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Beispiel:</span> <br /> <br />Boost in x-Richtung. Wir haben die gestrichenen Koordinaten gegeben und wollen die Koordinaten des ungestrichenen Systems haben. <br />Da die Bewegung nur in x-Richtung stattfindet, transformiert auch nur die x-Koordinate. y und z, sind in beiden Systemen gleich. Aber das sagt uns ja auch unsere Matrix. <br /> <br />Es gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I\quad ct'=\gamma\left(ct-\beta x\right)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?II\quad x'=\gamma\left(x-\beta ct\right)"> <br /> <br />Soweit warst du auch (aber bei dir war es ein Boost in z-Richtung). <br /> <br />Jetzt stellen I nach t und II nach x um und erhalten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I^{*} \quad \frac {t'}{\gamma}+\frac {\beta}{c}x=t"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I^{**} \quad \frac {x'}{\gamma}+\beta c t=x"> <br /> <br />Jetzt Setzen wir I** in I* ein und bekommen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t= \frac {t'}{\gamma}+\frac {\beta}{c}\left(\frac {x'}{\gamma}+\beta c t\right)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t= \frac {t'}{\gamma}+\frac {\beta x'}{c\gamma}+\beta^2 t"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1-\beta^2)t=\frac {1} {\gamma } (t'+\frac \beta c x')"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{\gamma^2} t=\frac {1} {\gamma } (t'+\frac \beta c x')"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=\gamma (t'+\frac \beta c x')"> <br /> <br />Und fertig! <br /> <br />Wenn ich jetzt mal meine Gleichung I mit der gerade erhaltenen vergleiche, dann hat sich offensichtlich lediglich das Vorzeichen in der Klammer geändert, sonst ist Alles wie vorher. Deswegen hat die Rücktransformationsmatrix statt einem "-" ein "+" vor den \beta-Termen. <br />Es gilt also immer: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'=\gamma (t-\frac \beta c i)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=\gamma (t'+\frac \beta c i')"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?i'=\gamma (i-\beta c t)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?i=\gamma (i'+\beta c t')"> <br /> <br />Für den Boost in i-Richtung (x, y oder z). Die beiden jeweils anderen Koordinaten bleiben unverändert. <br /> <br />Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten: Du merkst die eine Matrix wendest sie an und wenn du die Rücktransformation machst, weißt du, dass du das Vorzeichen in der Klammer, sowie gestrichene und nicht gestrichene Indizes tauschen musst. Oder aber, du merkst dir einfach beide Matrizen und führst immer streng die Multiplikation "Matrix mal zu transformierenden Vektor" aus. Matrixmultiplikation (Zeile mal Spalte skalar multiplizieren) sollte ja bekannt sein. <br /> <br />Ich wollte dir einfach zeigen, dass die einfache Lorentztrafo klar ist und wie man auf die Rücktransformation kommt um entsprechend auch in die andere Richtung zu rechnen. Die Transformationsmatrizen, bilden einfach die entsprechende Vorschrift dafür einen Vektor von einem unbewegten in ein bewegtes System oder umgekehrt zu überführen. <br /> <br />Und jetzt kannst du mal die Aufgabe lösen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Feb 2014 21:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich blicke da einfach nicht durch. Alleine schon wie man auf die Matrix kommt. <br /> <br />Könnten wir vielleicht das mit der Lorentz-Transformation nochmal hier an der zweiten Aufgabe machen? <br /> <br /><a href="http://www.physikerboard.de/topic,37186,-aufgabe-ii-zur-srt-%28rakete%29.html" target="_blank" class="postlink">http://www.physikerboard.de/topic,37186,-aufgabe-ii-zur-srt-%28rakete%29.html</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>alex2007</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Feb 2014 21:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja das ist in Ordnung so, aber du bist ja noch nicht fertig. Du brauchst ja die Koordinaten des Ereignisses. Diesbezüglich hier interessant die Formeln für die jeweilige Rücktransformation. <br /> <br />Also du hast ja Formeln vom Typ: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'=f(i,t)\quad i'=g(i,t)"> <br /> <br />Wobei t,t'...Zeitkoordinaten und i,i'...Raumkoordinaten (entsprechend der Boostrichtung) <br /> <br />Die Rücktransformation führt am Ende auf sowas: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=f(i',t')\quad i=g(i',t')"> <br /> <br />Bei dir ist die Rücktransformation nur so halb abgeschlossen. Denn du hast ja Koordinaten des gestrichenen Systems und willst mit diesen direkt die transformierten Koordinaten des ungestrichenen Systems berechnen. <br />Allerdings kommst du auf Mischterme hinter dem "=", also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=f(i,t')\quad i=g(i',t)"> <br /> <br />Deswegen setz mal die jeweils andere Transformation noch in deine Transformation ein, dann wird die nämlich eine schöne Relation bewusst, die du jedes mal verwenden kannst. <br /> <br />Hier mal für die Bestätigung deines Ergebnisses am Ende, die entsprechenden Transformationsmatritzen (hier jetzt mal für einen x-Boost, auch wenn deine Aufgabe einen z-Boost betrachtet, verhält sich sowieso analog, wie bereits paar Posts vorher angedeutet): <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">K->K'</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y'\\z' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \\ \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y\\z \end{pmatrix} "> <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">K'->K</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\begin{pmatrix} ct \\ x \\ y\\z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \\ \gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\ \beta\gamma & \gamma & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y'\\z' \end{pmatrix} "> <br /> <br />Am Ende kannst du stets genau diese Matrixmultiplikation für deine Transformation verwenden. Vorraussetzung, dass du wie es auch üblich ist, das gestrichene System (hier K') als das bewegte ansiehst und das ungestrichene (hier K) als das unbewegte. Das \gamma am 0,0-Element bleibt, die anderen 3 Elemente wandern entsprechend des Boosts. Mit dieser Transformation löst man jeden wechsel innerhalb ruhender und dazu bewegter Systeme. Der Zusammenhang lässt sich leicht merken, sodass man in Zukunft von einer Trafo direkt in die nächste umdenken kann. Mach das mal, das vereinfacht dir vielleicht die Operation mit der Lorentztrafo.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Feb 2014 18:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Irgendwie tue ich mich mit der Lorentz-Transformation ganz schön schwer. <br /> <br />Hier mal die umgestellten Koordinaten. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \cdot t'+\frac{v \cdot z}{c^2}"> <br /> <br />bzw. mit dem Lorentz-Faktor ausgedrückt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=\frac{t'}{\gamma}+\frac{\beta}{c} \cdot z"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=x'"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y=y'"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \cdot z'+v \cdot t"> <br /> <br />bzw. mit dem Lorentz-Faktor ausgedrückt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z=\frac{z'}{\gamma}+\beta c t"> <br /> <br />Der Lorentz-Faktor lässt sich wie folgt über die Angabe der Relativgeschwindigkeit v bestimmen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0,8^2}}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma=\frac{5}{3}"> <br /> <br />Ist das soweit richtig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>alex2007</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Feb 2014 14:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aufpassen. Die Zeitkoordinate transformiert immer. Und dann gilt es zu beachten in welche der Raumrichtungen sich das bewegende System bewegt. Deine angegebenen Formeln waren für ein System mit einem Boost in X-Richtung. Hier ist aber von Z-Richtung die rede, deswegen wird die Z-Koordinate transformiert...sollte logischt sein. <br /> <br />Male dir mal (oder stelle dir vor)zur Veranschaulichung ein normales Koordinaten System auf ein Blattpapier und genau das gleiche System <br />auf ein durchsichtiges Stück Papier. Du legst beide Übereinander, beide sind Deckungsgleich. Ein eingezeichneter Punkt hat die gleichen Koordinaten (Zeitpunkt t=0). Jetzt bewegst du dein durchsichtiges Blatt in Z-Richtung und wird sehen, dass dein Punkt sich im ursprünglichen unbewegten System dann auch nur in Z-Richtung verschoben hat. <br /> <br />Umstellen und Einsetzen sollte nun nicht das Problem sein. Ansonsten tut es auch ein Grafikprogramm eines grafikfähigen Rechners, wenn man zu faul zum umstellen ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Feb 2014 13:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das ist ja nun nicht so schwer <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Feb 2014 13:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich muss doch jetzt erstmal die Lorentz-Gleichungen nach x,y,z und t hin umstellen und dann erst die angegebenen Werte einsetzen, sonst ergibt das doch keinen Sinn.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Feb 2014 13:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, einsetzen und fertig (und auf das Vorzeichen von v aufpassen).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Feb 2014 13:10<span class="gen"> </span> Titel: Aufgabe I zur SRT (Inertialsysteme)</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma'"> sind zwei Inertialsysteme. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma'"> bewege sich relativ zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma"> mit einer Geschwindigkeit von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v=\frac{4}{5} \cdot c"> in z-Richtung. Zur Zeit t=t'=0 sei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma">=<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma'">. Ein Ereignis habe in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma'"> folgende Koordinaten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x'=12m"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y'=18m"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z'=24m"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'=5 \cdot 10^{-8}s"> <br /> <br />Bestimmen Sie die Koordinaten des Ereignisses in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma">. <br /> <br />Meine Ideen: <br /> <br />Ich denke, dass es hier um die Lorentz-Transformation geht. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Gleichungen der speziellen Lorentz-Transformation:</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c \cdot t'=\frac{c \cdot t+\frac{v}{c} \cdot x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x'=\frac{x+v \cdot t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y'=y"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z'=z"> <br /> <br />Entnimmt man die Gleichungen dem Nolting, so lauten diese: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'=\frac{t-\frac{v \cdot z}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma (z-\frac{\beta}{c} \cdot z)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x'=x"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y'=y"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z'=\frac{z-v \cdot t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma(z-\beta \cdot c \cdot t)"> <br /> <br />Ich weiß jetzt bloß nicht, wie ich diese Gleichungen jetzt auf das Problem anwenden muss.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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