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[quote="Feucht von Lipwig"]Eine DGL ist nichts weiter als ein Vektorfeld. [latex]\vec{v}(x, y) = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} [/latex] Das Phasenportrait ist dann die Menge der Integralkurven (der Fluss) des Vektorfeldes, d.h. diejenigen Linien, die immer Tangentian am Vektorfeld verlaufen. Das Vektorfeld/der Fluss lässt sich also immer zeichnen, auch wenn keine Analytische Lösung gefunden werden kann.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. März 2014 09:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nicht ganz. <br /> <br />Ich sag mal so, wenn man eine (theoretische) Physik- oder DGL-Vorlesung hört, dann zeichnet man das Phasenraumportrait, wenn man eine Geometrievorlesung hört, dann zeichnet man den Fluss, genauer ein Sinnbild dieser Abbildung <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br />Der eigentliche Unterschied wird im IR^n auch nicht deutlich. Der Fluss ist nämlich nicht nur für den IR^n definiert, sondern wird allgemein auf Mannigfaltigkeiten eingeführt wie zB. dem Torus oder der Kugeloberfläche oder eben dem IR^n. Wenn er global exisitiert, dann definiert er auch die/eine Gruppe, die du angesprochen hast. <br /> <br />Was natürlich nicht richtig ist, ist das Phasenraumportrait, also das Bildchen, mit den Abbildungen (Integralkurven/Flusslinien, Fluss) gleichzusetzen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. März 2014 00:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Feucht von Lipwig hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Phasenportrait ist dann die Menge der Integralkurven (der Fluss) des Vektorfeldes, d.h. diejenigen Linien, die immer Tangentian am Vektorfeld verlaufen. <br /> <br />Das Vektorfeld/der Fluss lässt sich also immer zeichnen, auch wenn keine Analytische Lösung gefunden werden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Korrigiere mich, wenn ich falsch liege. Aber der Fluss ist doch, soweit ich weiß, die Gruppe der Abbildungen, die einen Punkt im Phasenraum auf einen Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt später abbilden. Das Phasenportrait würde ich einfach mal mit der Menge der Phasenraumtrajektorien identifizieren. Werden die Begriffe wirklich synonym gebraucht? Ganz falsch ist es ja nicht, da ja beides denselben Informationsgehalt besitzt...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Feucht von Lipwig</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. März 2014 19:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eine DGL ist nichts weiter als ein Vektorfeld. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{v}(x, y) = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} "> <br /> <br />Das Phasenportrait ist dann die Menge der Integralkurven (der Fluss) des Vektorfeldes, d.h. diejenigen Linien, die immer Tangentian am Vektorfeld verlaufen. <br /> <br />Das Vektorfeld/der Fluss lässt sich also immer zeichnen, auch wenn keine Analytische Lösung gefunden werden kann.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. März 2014 00:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich war bis jetzt noch nie in der Situation, so etwas zeichnen zu müssen, ich kenne die Dinger nur aus Büchern. Spontan hätte ich das hier gemacht: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dot y}{\dot x} = - \frac x y \Longrightarrow y^2 = - x^2 + C \Longrightarrow y (C; x) = \pm \sqrt{C - x^2}"> <br /> <br />Phasenraum ist auch nicht wirklich eindeutig definiert. In der hamiltonschen Mechanik entspricht der y-Achse der zu x konjugierte Impuls, in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen wohl eher <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot x">. <br /> <br />Im Beispiel sind die Phasenraumtrajektorien also konzentrische Kreise. Wenn ich mich richtig erinnere. Harmonischer Oszillator.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Willi23</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. März 2014 22:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Erinnere mich gerade nur grob an die Phasenportraits von damals ... Aber bei uns war Phasenportrait auf jeden fall nicht immer gleich Phasenportrait ^^ es gibt solche und solche. Also wenn du ein paar mehr Details zur Aufgabe und evtl das Lösungsbild postest, kann man dir vllt besser helfen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>numi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. März 2014 16:33<span class="gen"> </span> Titel: Phasenportrait</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo, <br /> <br />Es tut mir wirklich schonmal im Vorraus sehr leid, weil es wahrscheinlich eine echt dumme Frage ist. Ich lerne gerade für meine Theoretische Physik Klausur und habe folgendes Problem: <br /> <br />Ich verstehe einfach überhaupt nicht wie man ein Phasenportrait zeichnet. <br />Was ein Phasenraum ist etc, habe ich eigentlich verstanden nur eben an dem Zeichnen scheiterts! <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Ich weiß, dass als x-Achse der Ort und als y-Achse der Impuls aufgetragen werden muss. <br /> <br />Nur habe ich nun zum Beispiel das System gegeben <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dot{x} =y, \dot{y}=-x "> weiß ich einfach nicht weiter. <br />ich habe schon gesehen wie es aussehen soll, nur selbst mit der Lösung komme ich einfach nicht darauf wie man sowas zeichnet. <br />Ich meine, muss das ganze jetzt etwa 4 dim werden? Ich weiß dass es nicht do ist aber... <br /> <br />Kann mir bitte jemand weiter helfen, ich verzweifel schon! <br />In seehr langsamen Schritten?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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