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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="spam"][u][b]Aufgabe:[/b][/u] Ein Stein wird waagerecht vom Rand eines Steilufers der Höhe h = 120 m mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 3 m/s ins Meer geworfen. (g = 10 m/s).

a) Wie lange braucht der Stein, bis er ins Wasser fällt?

b) Wie weit entfernt vom Ufer trifft der Stein ins Wasser?

c) Geben Sie den Geschwindigkeitsvektor und dessen Betrag beim Aufprall aufs Wasser an.

Meine erste [b]Lösungsidee[/b] ist, dass es sich hierbei um einen waagerechten Wurf handelt. Die y-Komponente lässt sich durch den freien Fall und die x-Komponente durch eine gleichförmig beschleunigte Bewegung getrennt voneinander beschreiben. Damit sind die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t=0:

[latex]x_0 = x(0) = 0[/latex]

[latex]y_0 = y(0) = 120 \ m[/latex]

[latex]v_{0,x} = v_0 = v_x = 3 \ \frac m s[/latex]

[latex]a_y = - \ g[/latex]

[latex]a_x = 0[/latex]

[latex]v_{0,y} = 0[/latex]

[latex]v_0 = -gt[/latex]

Nach Integration:

[latex]x = v_0 \cdot t + x_0[/latex]

[latex]y = - \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} \cdot t + y_0[/latex]

Nach Einsetzen der AB:

[latex](i) \ x = v_0 \cdot t[/latex]

[latex](ii) \ y = - \frac 1 2 gt^2 + y_0[/latex]

Das sind die Gleichungen die ich brauche.

a) wenn der Stein aufs Wasser trifft befindet er sich auf der x-Achse, die Nullstelle muss also berechnet werden, dort gilt y = 0. Dafür ist Gleichung (ii) sinnvoll:

[latex]0 = - \frac 1 2 gt^2 + y_0[/latex]

Auflösen nach der Zeit t:

[latex]2y_0 =gt^2[/latex]

[latex]|t| = \sqrt{\frac{2 y_0}{g}} [/latex]

Da ich an der negativen Zeit nicht interessiert bin:

[latex] t = \sqrt{\frac{2 y_0}{g}} [/latex]

Einsetzen der bekannten Zahlenwerte liefert schließlich:

[latex] t = \sqrt{\frac{2 \cdot 120 \ m}{10 \ \frac m {s^2}}} \approx 5 \ s[/latex]

Der Stein benötigt t=5s um aufs Wasser zu treffen.

b) meine [b]Lösungsidee[/b] hierfür ist, dass die Entfernung vom Ufer (Ursprung) angegeben wird durch x, zu berechnen ist also der Ort x. Dazu verwende ich Gleichung (i):

[latex]x = v_0 \cdot t[/latex]

Umformung:

[latex]x = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2 y_0}{g}}[/latex]

Das ergibt nach Einsetzen bekannter Zahlenwerte:

[latex]x \approx 3 \frac m s \cdot 5 \ s = 15 \ m[/latex]

Der Stein landet in ca. 15 m Entfernung.

c) eine [b]Lösungsidee[/b] ist hier, dass der Geschwindigkeitsvektor zu einem Endzeitpunkt [latex]t_E[/latex] ist gegeben durch:

[latex]v_E = \begin{pmatrix} v_{x,E} \\ v_{y,E} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{x,E} \cdot t_E + v_{x,0} \\  a_{y,E} \cdot  t_E  + v_{y,0} \end{pmatrix}[/latex]

Da keine Beschleunigung entlang x-Achse statt findet gilt zu jedem Zeitpunkt [latex]a_x=0[/latex], die Geschwindigkeit entlang der x-Achse ist konstant:

[latex]\vec v_E = \begin{pmatrix} v_{x} \\  a_{y,E} \cdot  t_E  + v_{y,0} \end{pmatrix}[/latex]

Da es keine Startgeschwindigkeit entlang der y-Achse gibt gilt [latex] v_{y,0}=0[/latex] und außerdem gilt (gemäß AB): [latex]v_y = -gt[/latex], somit:

[latex]\vec v_E = \begin{pmatrix} v_{x} \\  - gt_E \end{pmatrix}[/latex]

Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors lässt sich berechnen durch den Pythagoras:

[latex]v_E = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_{x}^2 + (gt_E)^2 }[/latex]

Einsetzen der bekannten Zahlenwerte zum Endzeitpunkt [latex]t_E = 5s[/latex]:

[latex]v_E = \sqrt{(3 \frac m s)^2 + (10 \ \frac{m}{s^2} \cdot 5 \ s)^2 }  = 50,09 \frac{m}{s} \approx 50 \ \frac m s[/latex]

Ist das realistisch? Beim letzten Aufgabenteil bin ich mir unsicher![/quote]

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