Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Mechanik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="jh8979"]Wie sieht die analytische Form der Koeffizienten aus?[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 20:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>eniem hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />... also Matlab anwerfen, oder so <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br />Wenn mir noch was schlaues einfällt, lass ich es Dich wissen. Aber ich vermute egal was man macht, am Ende läuft das eh auf numerisches Lösen/Berechnen hinaus (es gibt in der Physik eine "Aufwandserhaltung" = Erhaltung des Aufwands den man zum Lösen betreiben muss <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> ).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>eniem</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 20:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo jh8979, <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich glaub es gibt einen Weg die Laplacetransformierte der Lösung durch die Laplacetransformationen der ai,bi und sigma zu erhalten.... aber ich bezweifel dass man das wieder zuruecktransformieren kann (auf einfache Weise). <br /> <br />Ich würde die Gleichung versuchen numerisch zu lösen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />... also Matlab anwerfen, oder so <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />LG <br /> eniem</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 19:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich glaub es gibt einen Weg die Laplacetransformierte der Lösung durch die Laplacetransformationen der ai,bi und sigma zu erhalten.... aber ich bezweifel dass man das wieder zuruecktransformieren kann (auf einfache Weise). <br /> <br />Ich würde die Gleichung versuchen numerisch zu lösen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 19:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die ai's sind relativ egal, weil auf der Seite eh alles bekannt ist. Die bi's wären wichtig, aber da die vermutlich ähnlich aussehen, ist das Projekt "Analytische Lösung finden" gestorben <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br />-> Numerisches Lösen der DGL</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>eniem</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 18:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hoppla, <br /> <br />zu schnell geklickt: <br /> <br />a0 und a1 mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_1 = E_2 = E_3 = E_4 = 3000 N/mm^2"> <br /> <br />bzw. für die Dämpferviskositäten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta_i (t) = d_{1,i}\cdot(\frac{t}{24})^{0,70}"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,1} = 300 Nd/mm^2"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,2} = 900 Nd/mm^2"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,3} = 3500 Nd/mm^2"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,4} = 6\cdot 10^7 Nd/mm^2"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>eniem</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 17:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo jh8979, <br /> <br />diese ist sehr umfangreich, ich schreib sie mal exemplarisch für a_0 bzw. a_1 <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0 = \frac{1}{E_0\cdot \eta_1\cdot\eta_2\cdot\eta_3\cdot\eta_4}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_1 =\frac{1}{E_0(t)\cdot E_1\cdot\eta_2(t)\cdot\eta_3(t)\cdot\eta_4(t)}+\frac{1}{E_0\cdot E_2\cdot\eta_1(t)\cdot\eta_3(t)\cdot\eta_4(t)}+\frac{1}{E_0\cdot E_3\cdot\eta_1(t)\cdot\eta_2(t)\cdot\eta_4(t)}+\frac{1}{E_0\cdot E_4\cdot\eta_1(t)\cdot\eta_2(t)\cdot\eta_3(t)}"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_1 = E_2 = E_3 = E_4 = \unitfrac[3500]{N}{mm^2}"> <br /> <br />und (t in Stunden) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_0(t) = 20000\cdot \exp(-1,50\cdot(\frac{t}{24})^{-0,65})"> <br /> <br />Bzw. für die Alterung der Dämpferviskositäten (t in Stunden): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta_i(t)=d_{1,i}\cdot(\frac{t}{24})^0,70"> <br /> <br />Und dafür <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,1} =\unitfrac[300]{Nd}{mm^2}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,2} =\unitfrac[900]{Nd}{mm^2}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,3} =\unitfrac[3500]{Nd}{mm^2}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{1,4} =\unitfrac[6\cdot 10^7]{Nd}{mm^2}"> <br /> <br />... <br /> <br />Die restlichen Parameter <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_2"> bis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_4"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?b_0"> bis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?b_4"> sind ähnlich aufgebaut; ich kann sie gern noch angeben, falls dies für die weitere Vorgehensweise wichtig ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 17:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wie sieht die analytische Form der Koeffizienten aus?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>eniem</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 17:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo jh8979, <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das es sich um eine DGL 4-ter Ordnung handelt brauchst Du den Anfangswert bis zur dritten Ableitung von epsilon bei t=0.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Mmh. Daran habe ich gar noch nicht gedacht; allerdings dachte ich, wenn das System zu Beginn völlig Spannungs- und Dehnungsfrei ist und auch keinerlei Belastung erfährt, auch sämtliche Ableitungen von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varepsilon(t)"> für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=0"> 0 sind. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich nehme mal an, dass das andere ai und bi sind, als in deiner Anfangsgleichung. Um den Zusammenhang zu sehen, bring die Summe auf einen Nenner und Mach einen Koeffizientenvergleich im Nenner und Zähler. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Gute Idee - bin schon dabei. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein gilt sie (natürlich) nicht. Wenn die Koeffizienten von der Zeit abhängen sind es keine Konstanten sondern Funktionen der Zeit. Wenn Dir die analytische Form der Zeitabhängigkeit bekannt ist, kann man das evtl trotzdem mit der Laplace-Transformation lösen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Hm, eigentlich logisch. Ich habe da wohl zu sehr in "Zeitschritten" gedacht, innerhalb derer sich Konstanten ja nicht ändern (allerdings der Rest auch nicht ...) was mich zur falschen Vermutung kommen hat lassen. <br /> <br />Ich kenne aber tatsächlich die <span style="font-weight: bold">analytische Form der zeitabhängigen</span> Materialparameter. <br />Lediglich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma(t)"> kenne ich nur in Form von "Messpunkten". <br /> <br />Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich die DGL mit meinen bekannten Größen lösen soll bzw. womit beginnen etc. ... - als 'einfacher Bauingenieur' macht man sowas nicht unbedingt oft ... <br /> <br />LG <br /> eniem</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 16:39<span class="gen"> </span> Titel: Re: Materialmodell: Lsg. d. DGL eines general. Maxwell-Mode</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>eniem hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Für die Randbedingungen <br /> <br />- Zeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t"> nur im Bereich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[0, \infty^+]"> <br />- bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=0"> ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma=0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varepsilon=0"> <br />- bis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=0"> gab es keine Vorbelastung <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das es sich um eine DGL 4-ter Ordnung handelt brauchst Du den Anfangswert bis zur dritten Ableitung von epsilon bei t=0. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />1.) Wie gelangt man zur in <span style="font-weight: bold">(*)</span> angegebenen Summe? (Der "Reihenentwicklung"). - Warum enthält diese nicht mehr die ursprünglich vorhandenen Parameter <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?b_0">. Was ist damit passiert? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich nehme mal an, dass das andere ai und bi sind, als in deiner Anfangsgleichung. Um den Zusammenhang zu sehen, bring die Summe auf einen Nenner und Mach einen Koeffizientenvergleich im Nenner und Zähler. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />2.) Gilt die angegebene Lösung auch für <span style="font-weight: bold">zeitabhängige</span> Materialparameter? Bzw. wie müsste man dann die DGL lösen? Oder ändert sich gar nichts daran, da das ja nach wie vor "Konstanten" bleiben, die zwar von der Zeit, nicht aber von sigma oder epsilon abhängen? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein gilt sie (natürlich) nicht. Wenn die Koeffizienten von der Zeit abhängen sind es keine Konstanten sondern Funktionen der Zeit. Wenn Dir die analytische Form der Zeitabhängigkeit bekannt ist, kann man das evtl trotzdem mit der Laplace-Transformation lösen. Wenn Du nur die numerischen/gemessenen Werte kennst, dann ist das mit der Laplace-Transformation höchstens formal möglich, aber bringt dich vermutlich nicht sehr weit. <br /> <br />Formal ist die Lösung aber eh schon bekannt: <br /><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation#Systems_of_Linear_Differential_Equations" target="_blank">http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation#Systems_of_Linear_Differential_Equations</a> <br />(das hilft aber vermutlich nur bedingt weiter) <br /> <br />Wenn Du die bekannten Zeitabhängigkeit der ai und bi nicht analytisch kennst, lässt sich das ganze normalerweise nur numerisch lösen (wenn nicht noch irgendein wunder geschieht in Deinem System).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>eniem</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Nov 2014 15:58<span class="gen"> </span> Titel: Materialmodell: Lsg. d. DGL eines general. Maxwell-Modells</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo liebe Forianer, <br /> <br />Ich sitze gerade vor einem Materialmodell, dessen DGL ich kenne, allerdings habe ich ein Problem mit der Lösung derselben. Es handelt sich dabei um eine lineare DGL 4. Ordnung, die in Differentialoperatorform folgendermaßen angegeben werden kann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_{i=0}^n q_i\frac{\partial^i\sigma(t)}{\partial t^i}=\sum_{j=0}^m p_j\frac{\partial^j\varepsilon(t)}{\partial t^j}"> <br /> <br />Damit kann ein linar-viskoelastisches Werkstoffverhalten unter einachsiger Spannung beschrieben werden. - Ich verwende hierzu ein sogenanntes "verallgemeinertes Maxwell-Modell" bestehend aus einer Parallelschaltung einer Feder mit 4 Maxwell-Elementen. Dafür ergibt sich folgende DGL: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0\cdot\sigma(t)+a_1\cdot\frac{\partial \sigma(t)}{\partial t}+a_2\cdot\frac{\partial^2\sigma(t)}{\partial^2 t}+a_3\cdot\frac{\partial^3\sigma(t)}{\partial^3 t}+a_4\cdot\frac{\partial^4\sigma(t)}{\partial^4 t} = b_0\cdot\varepsilon(t)+b_1\cdot\frac{\partial \varepsilon(t)}{\partial t}+b_2\cdot\frac{\partial^2\varepsilon(t)}{\partial^2 t}+b_3\cdot\frac{\partial^3\varepsilon(t)}{\partial^3 t}+b_4\cdot\frac{\partial^4\varepsilon(t)}{\partial^4 t}"> <br /> <br />Die Parameter a_0 bis a_4 und b_0 bis b_4 sind darin zeitabhängige Materialparameter, welche mir für jeden Zeitpunkt bekannt sind. <br />Ebenfalls kenne ich für jeden Zeitpunkt den Wert der Spannung, also sigma(t) ist bekannt. <br /> <br />Obige Gleichung kann einfacher als Differentialoperator-Gleichung geschrieben werden: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A[\sigma(t)]=B[\varepsilon(t)]"> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A=\sum_{i=0}^n a_i \frac{\partial^i}{\partial t^i}"> <br />und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?B=\sum_{j=0}^m b_j \frac{\partial^j}{\partial t^j}"> <br /> <br />Für die Randbedingungen <br /> <br />- Zeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t"> nur im Bereich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[0, \infty^+]"> <br />- bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=0"> ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma=0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varepsilon=0"> <br />- bis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t=0"> gab es keine Vorbelastung <br /> <br />Kann gemäß einer Literaturquelle (http : // mediatum.ub.tum.de/doc/601943/601943.pdf) (Seite 12ff) folgende LaPlace-Transformation verwendet werden: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{a}(s)\bar{\sigma}(s)=(a_0+a_1\cdot s+a_2\cdot s^2 + a_3\cdot s^3 + a_4\cdot s^4)\bar{\sigma}(s)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{b}(s)\bar{\varepsilon}(s)=(b_0+b_1\cdot s+b_2\cdot s^2 + b_3\cdot s^3 + b_4\cdot s^4)\bar{\varepsilon}(s)"> <br /> <br />Letztlich also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{a}(s)\bar{\sigma}(s)=\bar{b}(s)\bar{\varepsilon}(s)"> <br /> <br />bzw.: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{\varepsilon}(s)=\frac{a_0+a_1\dot s+a_2\cdot s^2 + a_3\cdot s^3+a_4\cdot s^4}{b_0+b_1\dot s+b_2\cdot s^2 + b_3\cdot s^3+b_4\cdot s^4}\cdot\bar{\sigma}(s)"> <br /> <br />In der Literaturquelle heißt es nun weiter: "Weiters gilt, dass die Werkstoffkonstanten <span style="font-weight: bold">zeitABhängig</span> seien können." (So wie dies bei mir der Fall ist.) <br />und weiter: "In Reihenentwicklung dargestellt vereinfacht sich o.g. Gleichung mit den <span style="font-weight: bold">zeitUNabhängigen</span> Materialparametern a_i und b_i zu" <span style="font-weight: bold">(*)</span>: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{\varepsilon}(s)=\Biggr[\sum_{i=1}^l \frac{a_i}{b_i+s}\Biggl]\cdot\bar{\sigma}(s)=\sum_{i=1}^l F_i(s)\cdot\bar{\sigma}(s)"> <br /> <br />Das Rücktransformieren führt dann gemäß der Literaturquelle zu folgendem Faltungsintegral: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varepsilon(t)=\int_0^t\sum_{i=1}^l a_i\cdot e^{-b_i\cdot(t-\xi)}\sigma(\xi)d\xi=\int_0^t\sum_{i=1}^l a_i e^{-b_i t}\sigma(t-\xi)d\xi"> <br /> <br />Hierzu stellen sich mir Folgende <span style="font-weight: bold">Fragen</span>: <br /> <br />1.) Wie gelangt man zur in <span style="font-weight: bold">(*)</span> angegebenen Summe? (Der "Reihenentwicklung"). - Warum enthält diese nicht mehr die ursprünglich vorhandenen Parameter <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?b_0">. Was ist damit passiert? <br /> <br />2.) Gilt die angegebene Lösung auch für <span style="font-weight: bold">zeitabhängige</span> Materialparameter? Bzw. wie müsste man dann die DGL lösen? Oder ändert sich gar nichts daran, da das ja nach wie vor "Konstanten" bleiben, die zwar von der Zeit, nicht aber von sigma oder epsilon abhängen? <br /> <br />Letztlich bin ich auf der Suche nach einer Gleichung, die mir für jeden beliebigen Zeitpunkt "<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t">" ein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varepsilon(t)"> liefert und nur von der bekannten Spannung sigma(t) bzw. den Materialkonstanten abhängt ... also etwas in die Richtung wie oben angegeben; <br />nur wie gesagt weiß ich nicht, ob ich das 1:1 so übernehmen kann, da zum einen die Parameter <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?b_0"> "fehlen" bzw. zum anderen die Materialkonstanten zeitabhängig sind ... <br /> <br />Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. <br />Besten Dank im Voraus, <br /> eniem</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
