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[quote="roggenfaenger"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, es geht um zwei Aufgaben, hier sind die dazugehörigen Bilder. Die Aufgabe besteht darin, die zugehörige DGL aufzustellen. D=Federkonstante 1) http://i.imgur.com/r00tTXE.jpg 2) http://i.imgur.com/EHZ1BNj.jpg [b]Meine Ideen:[/b] zu 1) wäre dies die richtige, dazugehörige DGL? [latex]m \ddot{x}=-Dx mit\;D=D_1+D_2[/latex] zu 2) wäre dies die richtige DGL? [latex](1)\;m \ddot{x}=-Dx-mg sin\alpha[/latex] oder [latex](2)\;m \ddot{x}+Dx=mg sin\alpha[/latex] ..mir fällt es schwer, die Neigung richtig einzuordnen. Da keine Reibungskräfte wirken, müsste die Neigung doch wie eine ERZWUNGENE Schwingung auf das System wirken - deshalb müsste doch [latex](2)[/latex] richtig sein, oder? Abgesehen davon: Wie würde ich diese inhomogene DGL lösen? würde ich die Teile (homogen, inhomogen) getrennt betrachten und mit einem geeigneten Ansatz lösen? Vielen Dank! rf[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>roggenfaenger</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2015 13:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die ausführliche Antwort. <br />Leider nicht. <br /> <br />Ich hätte wohl auch ggf. noch mehr zu der Aufgabenstellung sagen müssen - (SORRY!) <br /><a href="http://i.imgur.com/ZGxnUJe.jpg" target="_blank" class="postlink">http://i.imgur.com/ZGxnUJe.jpg</a> <br /> <br />das mit den konstanten Krafttermen verstehe ich jetzt. <br /> <br />Da in der Aufgabenstellung nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_0"> gefragt wird, hätte ich diesen Ansatz gewählt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\xi(t)=Acos(wt)"> <br /> <br />Das ergibt nach einsetzen und kürzen: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w^2=- \frac{D_1+D_2}{m} <br />\rightarrow w=\sqrt{\frac{D_1+D_2}{m}}"> (Zwischenfrage; negatives Vorzeichen...?) <br /> <br />als allgemeine Lösung hätte ich nun folgende aufgestellt (als Art Superposition) <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\xi(t)=A_1cos(\sqrt{\frac{D_1+D_2}{m}}+A_2cos(\sqrt{\frac{D_1+D_2}{m}}"> <br /> <br />nun hätte ich rücksubstituiert und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_1\;undA_2"> über die Anfangsbedinungen (s. Text) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(0)=x_0\;und\; \dot{x}(0)=v_0"> <br />bestimmt. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=A_1cos(\sqrt{\frac{D_1+D_2}{m}}+A_2cos(\sqrt{\frac{D_1+D_2}{m}}- \frac{C}{D_1+D_2}"> <br />Ich habe so noch nie eine DGL gelöst und bin etwas verwirrt. Wahrscheinlich würde die Erklärung den Rahmen sprengen. <br />Außerdem suggeriert die Aufgabenstellung, dass die Bewegungsgleichungen a) und b) verschieden sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2015 12:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, C ist nicht Null. Ich hätte vielleicht ausführlicher sein sollen. Aber du musst wirklich nur die beiden Kräfte addieren: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot x = F_1 + F_2 = -(D_1 + D_2 ) x + D_1 x_0^{(1)} + D_2 x_0^{(2)}"> <br /> <br />Die Gleichung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F = - D x"> für eine Feder gilt ja, wenn x der Abstand zur Ruhelage ist. In der Situation von 1 gibt es aber keine gemeinsame Ruhelage für beide Federn. <br /> <br />Du hast dann also die Gleichung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot \xi = - (D_1 + D_2 ) \xi">. Die allgemeine Lösung kennst du: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\xi (t) = \alpha \cos (\sqrt{\tfrac{D_1 + D_2}{m}} t + \beta )">. Rücksubstitution: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x = \xi - \tfrac{C}{D_1 + D_2}">, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = \alpha \cos (\sqrt{\tfrac{D_1 + D_2}{m}} t + \beta ) - \tfrac{C}{D_1 + D_2}"> <br /> <br />Hast du schon einmal die Methode der Variation der Konstanten zur Lösung von inhomogenen DGLn gesehen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>roggenfaenger_gast</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2015 12:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke! <br />zu 1) <br />das "C" repräsentiert den konstanten Kraftterm. Für die erste Anordung würde doch gelten C=0, oder? <br />also: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot{x}=-(D_1+D_2)x"> <br /> <br />zu 2) <br />nach der Substituon: Ich wähle einen Ansatz und löse <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot{\xi}=-(D_1+D_2) \xi"> <br /> <br />Wie und wo geschieht die Rücksubstitution? Bis jetzt habe ich in noch nie DGL auf diese Art gelöst, deshalb die Frage. Falls zu kompliziert - auch vernachlässigbar <br /> <br /><span style="color: blue">[as_string: Ich habe Deine LaTeX-Korrektur gleich hier rein gebracht und den anderen Post gelöscht. So ok?]</span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2015 12:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Erstmal zu 1.: Die DGL ist nicht richtig, denn du musst beachten, dass die Federn eine Ruhelage haben. Du hast also zwei Kräfte <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_1 = -D_1(x - x_0^{(1)})\quad F_2 = -D_2 (x - x_0^{(2)})"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot x = -(D_1 + D_2) x + C"> <br /> <br />Die Neigung bewirkt qualitativ dasselbe: einen zusätzlichen konstanten Kraftterm. Mathematisch sind also 1 und 2 völlig äquivalent. <br /> <br />Wie löst man das: Ich würde da einfach substituieren. Für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\xi := x + \frac{C}{D_1 + D_2}"> hast du nämlich gerade <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot \xi = - (D_1 + D_2 ) \xi">, <br /> <br />also eine ganz harmlose harmonische Schwingung. Mit anderen Worten: Das Hinzufügen eines konstanten Kraftterms zu einer harmonischen Schwingung ändert nur die Gleichgewichtslage. Das kennst du ja auch sicher vom Federschwinger: Wenn man den vertikal schwingen lässt, wirkt immer die Gravitation zusätzlich. Die Schwingung bleibt harmonisch, nur mit einer anderen Ruhelage.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>roggenfaenger</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2015 12:03<span class="gen"> </span> Titel: Aufstellen einer DGL - harmonische Schwingung (2 Fragen)</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo,<br /><br />es geht um zwei Aufgaben, hier sind die dazugehörigen Bilder.<br />Die Aufgabe besteht darin, die zugehörige DGL aufzustellen.<br /><br />D=Federkonstante<br /><br />1) <a href="http://i.imgur.com/r00tTXE.jpg" target="_blank">http://i.imgur.com/r00tTXE.jpg</a><br />2) <a href="http://i.imgur.com/EHZ1BNj.jpg" target="_blank">http://i.imgur.com/EHZ1BNj.jpg</a><br /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />zu 1)<br />wäre dies die richtige, dazugehörige DGL?<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot{x}=-Dx<br />mit\;D=D_1+D_2"><br /><br />zu 2)<br />wäre dies die richtige DGL?<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1)\;m \ddot{x}=-Dx-mg sin\alpha"><br />oder<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(2)\;m \ddot{x}+Dx=mg sin\alpha"><br />..mir fällt es schwer, die Neigung richtig einzuordnen. Da keine Reibungskräfte wirken, müsste die Neigung doch wie eine ERZWUNGENE Schwingung auf das System wirken - deshalb müsste doch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(2)"> richtig sein, oder?<br /><br />Abgesehen davon: Wie würde ich diese inhomogene DGL lösen?<br />würde ich die Teile (homogen, inhomogen) getrennt betrachten und mit einem geeigneten Ansatz lösen?<br /><br />Vielen Dank!<br /><br />rf</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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