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Formeleditor
[quote="oh20elyf"]Erstmal danke für die schnelle Antwort! Also ich bilde erstmal die 2. Differentation von r ohne das Integral zu berücksichtigen und integriere das Ergebnis über t? Ist das zulässig? Das ergibt laut wolframalpha.com: [latex]\frac{\partial^2 w(r)}{\partial r^2}= \int_0^\infty \! -\frac{tJ_{1}(\frac{r_{0} }{l}t)(J_{0}(\frac{r}{l}t)-J_{2}(\frac{r}{l}t)) }{2l^{2}(t^{3}+1) } \, \dd t [/latex] Eine Idee wie ich überprüfen kann ob das Ergebnis korrekt bzw. das Verfahren zulässig ist? LG =)[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2015 13:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">M.E. lohnt es sich, mal die Integraldarstellung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J_n(xt) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \dd\sigma\,e^{-i(n\sigma - xt\,\sin\sigma)}"> <br /> <br />zu betrachten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty \dd t \, f(t) \, J_m(xt) \, J_n(x_0t) = \frac{1}{4\pi^2} \int_0^\infty \dd t \, f(t) \int_{-\pi}^{+\pi} \dd\sigma \int_{-\pi}^{+\pi} \dd\tau \, e^{-i(m\sigma - xt\,\sin\sigma)}\,e^{-i(n\tau - x_0t\,\sin\tau)} = \frac{1}{4\pi^2} \int_{-\pi}^{+\pi} \dd\sigma \int_{-\pi}^{+\pi} \dd\tau \, e^{-im\sigma}\,e^{-in\tau} \int_0^\infty \dd t \, f(t) \, e^{i(x\,\sin\sigma + x_0\,\sin\tau)t} "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2015 13:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>oh20elyf hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ergibt laut wolframalpha.com ...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ehrlich? Zweimal Ableiten muss doch von n=0 aufg n=-2, 0 und n=+2 führen; und es muss zweimal ein 1/2 auftreten, also insgs. 1/4 <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Fuer n=0 lautet die Identität: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?J_0'(x) = - J_1(x)"> <br /> <br />Davon abgesehen glaub ich nicht, dass sich dieses Integral irgendwie schön darstellen lässt (weder das Originalintegral, noch die abgeleitete Version). Im besten Fall tauchen "nur" hypergeometrische Funktionen auf. Siehe z.B. <br /><a href="https://books.google.cz/books?id=2t2cNs00aTgC&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false" target="_blank" class="postlink">Prudnikov, Brychkov, Marichev - Vol.2 - Seite 212ff</a> <br />.. Ich seh allerdings selbst mit den Formeln dort noch nicht, wie man das Integral komplett löst... aber vllt geht es, wenn man nicht alles im Kopf versucht und es mal ausschreibt <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2015 12:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>oh20elyf hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also ich bilde erstmal die 2. Differentation von r ohne das Integral zu berücksichtigen und integriere das Ergebnis über t? Ist das zulässig?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn alles schon stetig und konvergent ist, schon <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>oh20elyf hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ergibt laut wolframalpha.com ...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ehrlich? Zweimal Ableiten muss doch von n=0 aufg n=-2, 0 und n=+2 führen; und es muss zweimal ein 1/2 auftreten, also insgs. 1/4 <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>oh20elyf hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eine Idee wie ich überprüfen kann ob das Ergebnis korrekt bzw. das Verfahren zulässig ist?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Selbst berechnen und Mathematica fragen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>oh20elyf</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2015 11:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Erstmal danke für die schnelle Antwort! <br /> <br />Also ich bilde erstmal die 2. Differentation von r ohne das Integral zu berücksichtigen und integriere das Ergebnis über t? Ist das zulässig? <br /> <br />Das ergibt laut wolframalpha.com: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial^2 w(r)}{\partial r^2}= \int_0^\infty \! -\frac{tJ_{1}(\frac{r_{0} }{l}t)(J_{0}(\frac{r}{l}t)-J_{2}(\frac{r}{l}t)) }{2l^{2}(t^{3}+1) } \, \dd t "> <br /> <br />Eine Idee wie ich überprüfen kann ob das Ergebnis korrekt bzw. das Verfahren zulässig ist? <br /> <br />LG =)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2015 11:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für Integrale über derartige Funktionen hilft evtl. <span style="font-style: italic">Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions</span> oder Mathematica. Ob dein Integral dort verzeichent ist, kann ich aber nicht sagen. <br /> <br />Alternativ kannst du auch prüfen, ob du die Differentation nach r unter das Integral ziehen kannst, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_r^2\,w(x) = \int_0^\infty \dd t \, \frac{\partial_r^2\,J_{0}(xt)\,J_{1}(x_0t)}{t+t^{4} }"> <br /> <br />(zunächst solltest du mal x = r/l substitieren) <br /> <br />Für die Ableitung kannst du folgende Identität benutzen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_z\,J_n(z) = \frac{1}{2}[J_{n-1}(z) - J_{n+1}(z)]"> <br /> <br /> <br />Weitere Möglichkeiten findest du, in dem du im Integral mögliche Integraldarstellungen der Besselfunktionen J einsetzt und anschließend (wenn erlaubt) die Integrationsreihgenfolge vertauschst, d.h. zuerst über t integrierst. Evtl. erhältst du dann besser hantierbare Integrale.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>oh20elyf</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2015 10:25<span class="gen"> </span> Titel: Ableitung Bessel-Funktion mit Integral gesucht!</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Im Rahmen meiner Bachelor Thesis muss ich die 2. Ableitung der folgenden Funktion bestimmen:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w(r)=\int_0^\infty \! \frac{J_{0}(\frac{r}{l}t)J_{1}(\frac{r_{0} }{l}t)}{t+t^{4} } \, \dd t<br /><br />J_{0},{~}J_{1} : Bessel-Funktionen{~}erster{~}Gattung\\<br />r_{0},{~}l: Konstanten<br /><br />Gesucht:{~}\frac{\partial^{2} w(r)}{\partial r^{2}}"><br /><br />Kann mir jemand sagen ob/wie das möglich ist?<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Meine Idee war, zuerst die Stammfunktion nach t zu bilden um das Integral weg zu bekommen und anschließend 2 mal nach r abzuleiten.<br /><br />Leider weiß ich nicht ob/wie das funktioniert. :/<br />Hat jemand Ideen? <br /><br />LG Thilo</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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