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[quote="Huggy"][quote="TomS"]@Huggy: wie kommt man ohne Geometrie drauf?[/quote] Die geometrische Betrachtung ist lediglich ein Hilfsmittel, um sich die Bereiche zu veranschaulichen, über die man die gemeinsame Dichtefunktion der Positionen der beiden Teilchen integrieren muss, um die Wahrscheinlichkeit [latex]P(X \leq r)[/latex] zu bekommen. Bei gegebener Position x des einen Teilchens muss die Position y des anderen Teilchens in dem Bereich [b][Max (0, x - r), Min (1, x + r)][/b] liegen. Wenn man nun die gemeinsame Dichtefunktion über diesen Bereich integrieren will und anschließend über x, muss man Fallunterscheidungen machen je nachdem, welcher Term nun gerade die untere und die obere Grenze definiert. Schon diese Fallunterscheidung wird durch eine geometrische Darstellung des Integrationsgebiets transparenter. Wenn nun aufgrund einer Gleichverteilung der gemeinsamen Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit proportional zur Fläche des Integrationsgebietes ist, spricht man von geometrischer Wahrscheinlichkeit. Man kann dann häufig die Integration durch eine andere, einfachere Form der Flächenbestimmung ersetzen.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>kaschr3</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jan 2016 12:41<span class="gen"> </span> Titel: mhmm...</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>kaschr1 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br /> leider bin ich völlig auf dem Holzweg Volt ist die Lösung </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Genau.... Volt! <img src="images/smiles/haudrauf.gif" alt="Haue / Kloppe / Schläge" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Okt 2015 07:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">@Huggy: wie kommt man ohne Geometrie drauf?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die geometrische Betrachtung ist lediglich ein Hilfsmittel, um sich die Bereiche zu veranschaulichen, über die man die gemeinsame Dichtefunktion der Positionen der beiden Teilchen integrieren muss, um die Wahrscheinlichkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P(X \leq r)"> zu bekommen. Bei gegebener Position x des einen Teilchens muss die Position y des anderen Teilchens in dem Bereich <span style="font-weight: bold">[Max (0, x - r), Min (1, x + r)]</span> liegen. Wenn man nun die gemeinsame Dichtefunktion über diesen Bereich integrieren will und anschließend über x, muss man Fallunterscheidungen machen je nachdem, welcher Term nun gerade die untere und die obere Grenze definiert. <br /> <br />Schon diese Fallunterscheidung wird durch eine geometrische Darstellung des Integrationsgebiets transparenter. Wenn nun aufgrund einer Gleichverteilung der gemeinsamen Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit proportional zur Fläche des Integrationsgebietes ist, spricht man von geometrischer Wahrscheinlichkeit. Man kann dann häufig die Integration durch eine andere, einfachere Form der Flächenbestimmung ersetzen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Okt 2015 00:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nicht so schön, aber ziemlich geradeaus: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P(X<r) = \int_0^L \frac{dx_1}{L} P(x_1-r \le x_2 \le x_1 +r) \hspace{13cm} <br />= \int_0^r \frac{dx_1}{L} P(0\le x_2 \le x_1+r) + \int_r^{L-r} \frac{dx_1}{L} P(x_1 - r\le x_2 \le x_1+r)+ \int_{L-r}^L \frac{dx_1}{L}P(x_1 - r\le x_2 \le L) <br />= \int_0^r \frac{dx_1}{L} \frac{x_1+r}{L} + \int_r^{L-r} \frac{dx_1}{L} \frac{2r}{L} + \int_{L-r}^L \frac{dx_1}{L} \frac{L-x_1+r}{L} \hspace{9cm} <br />= ... \hspace{19.5cm} <br />"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2015 23:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@Huggy: wie kommt man ohne Geometrie drauf?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>rg2</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2015 22:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Von geometrischer Wahrscheinlichkeit hatte ich bisher noch nichts gehört <br /> <br />Ich hatte beim Rumsuchen die Betaverteilung gefunden <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? p(x)=c*x^{a} (1-x)^{b} "> <br /> <br />und für a=0, b=1, c=2, L=1 <br /> <br />ergibt das die Lösung <br /> <br />dann hatte ich mir überlegt wie die Verteilung aussieht <br />wenn man keine Strecke hat sondern eine Fläche <br />auf der die Punkte liegen <br />(zB Kreis oder Quadrat) <br /> <br />hier hat die Verteilung sehr große Ähnlichkeit mit der Betaverteilung <br />aber ich konnte keine Werte für a bzw b finden</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2015 19:17<span class="gen"> </span> Titel: Re: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Abstandes</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>rg2 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das müsste rauskommen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p(r)=\frac{2}{L}- \frac{2r}{L^{2} } "> <br /> <br />keine Ahnung wie man das mathematisch herleitet</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Herleitung ist eine einfache Übung in geometrischer Wahrscheinlichkeit. Man betrachte die gemeinsame Dichtefunktion der Positionen der beiden Teilchen. Das ist eine Gleichverteilung auf einem Quadrat mit der Seitenlänge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L">. Da es eine Gleichverteilung ist, ist die Wahrscheinlichkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P(X \leq r)">, dass der Abstand der beiden Teilchen kleiner/gleich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> ist, gleich dem Flächenanteil an dem Quadrat, in dem die Bedingung erfüllt ist. Die Bedingung ist in einem Streifen um die Diagonale erfüllt, der durch zwei Parallelen zur Diagonale im Abstand <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pm r"> gebildet wird. Nicht zu diesem Streifen gehören 2 rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke mit der Kathetenlänge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L-r">. Die Fläche innerhalb des Streifens ist also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A= L^2-(L-r)^2">. Der Flächenanteil und damit die Verteilungsfunktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(r)"> des Abstands ist daher: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(r)=P(X \leq r)=\frac {A}{L^2}=1-(1-\frac {r}{L})^2"> <br /> <br />Ableiten nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> ergibt die von dir genannte Dichtefunktion für den Abstand der beiden Teilchen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>kaschr1</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2015 15:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok danke schonmal:)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>rg2</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2015 20:08<span class="gen"> </span> Titel: Re: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Abstandes</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das müsste rauskommen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p(r)=\frac{2}{L}- \frac{2r}{L^{2} } "> <br /> <br />keine Ahnung wie man das mathematisch herleitet</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>kaschr1</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2015 12:54<span class="gen"> </span> Titel: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Abstandes</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hi, dies ist eine Aufgabe auf meinem ersten Übungsblatt Statistische Mechanik, leider bin ich völlig auf dem Holzweg Volt ist die Lösung auch einfacher als gedacht, über Hilfe wäre ich mehr als dankbar!:)<br /><br />"Betrachten Sie zwei nichtwechselwirkende Teilchen in einer eindimensionalen Box der La ?nge L, wobei jedes Teilchen jeden Ort in der Box mit gleicher Wahrscheinlichkeit besetzen kann (?Gleichverteilung?).<br />a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung p(r) folgt fu ?r den Abstand r zwischen den beiden Teilchen? Verifizieren Sie, dass p(r) normiert und positiv ist."<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Der Abstand beider Punkte ist natürlich |x1-x2|, für den maximalen Abstand ist mir klar dass es in diesem Fall nur eine Möglichkeit gibt (theoretisch 2 aber uns interessiert ja nur der Abstand nicht der Ort der Teilchen),</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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