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[quote="Min Kowski"]Danke für die beiden Antworten. :) gerade die unterscheidung zwscihen vektorkomponenten und punktkoordinaten war bisher völlig an mir vorbeigegangen...[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Min Kowski</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Okt 2015 13:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die beiden Antworten. <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> gerade die unterscheidung zwscihen vektorkomponenten und punktkoordinaten war bisher völlig an mir vorbeigegangen...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2015 20:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Min Kowski hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hallo, ich habe eine Frage bzgl. der Koordinatentransformation von Kart. in Kugelkoordinaten: <br /> <br />Die Transformation ist ja: <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />(x,y,z,)^T = (r \sin \theta \cos \varphi , r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta)^T "> <br /> <br />Ich Frage mich nun in welcher Basis die rechte Seite der Glg. gegeben ist. Also entwender in der Standartbasis der Kartesischen oder Kugelkoordinaten. D.h. welche Variante ist korrekt? Entweder: <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />(x,y,z,)^T = r \sin \theta \cos \varphi e_x + r \sin \theta \sin \phi e_y + r \cos \theta e_z "> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Diese Version ist zwar richtig, aber das grundlegende Problem und vermutlich der Hintergrund der Frage ist, daß du Koordinaten von Punkten und Komponenten von Vektoren nicht unterscheidest. Das bleibt solange ohne nachteilige Konsequenzen wie du es mit geradlinigen Koordinatensystemen zu tun hast. In krummlinigen Koordinaten, wie den Kugelkoordinaten, gibt es nicht "die" Basis, sondern viele verschiedene Basen, in jedem Punkt des Raumes, also für jeden Wert der Koordinaten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r, \phi,\theta"> eine eigene. Die zugehörigen Basisvektoren erhält man als Abeitung der Koordinatenlinien in dem entsprechenden Punkt, also z.B. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_r(r,\theta, \phi) = \frac{\dd x}{\dd r}e_x + \frac{\dd x}{\dd r}e_y + \frac{\dd z}{\dd r}e_z = \sin \theta \cos \phi e_x + \sin \theta \sin \phi e_y +\cos\theta e_z,\ \text{ etc.} <br />"> <br />In diesem Zusammenhang ist es auch vorteilhaft über die kartesischen Basisvektoren als Objekte, die in einem Punkt (x,y,z) angeheftet sind, nachzudenken, welche lediglich die angenehme Eigenschaft haben, bei einer Verschiebung von Ort zu Ort konstant zu bleiben. Wenn du jetzt nach demselben Verfahren die restlichen beiden Vektoren ausrechnest, hast du ein Gleichungssystem, welches dir die Transformation zwischen zwei Basissystemen am Punkt (x,y,z) beschreibt. <br /> <br />Einen Vektor im <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^3"> kann man nun frei im Raum verschieben. Deshalb kann man ihn prinzipiell auch bezüglich jeder Basis an <span style="font-style: italic">jedem</span> beliebigen Ort in seine Komponenten zerlegen. Deine ursprüngliche Frage, wie die Komponenten lauten, läßt sich also gar nicht eindeutig beantworten ohne, daß du angibst, bzgl. welches Basissystems an welchem Punkt eine solche Entwicklung vorgenommen werden soll. Konzeptionell am saubersten ist es allerdings wieder von Vektoren als an einem Punkt angehefteten Objekten auszugehen, die am besten in einer am selben Ort befindlichen Basis entwickelt werden. <br /> <br />Eine Komplikation ergibt sich nun aber dadurch, daß der Ortsvektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r = xe_x +ye_y+ze_z"> an einem Punkt (dem Nullpunkt) angeheftet ist, in dem das System aus Kugelkoordinaten singulär ist, d.h. keine Basis für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^3"> mehr definiert. Man kann aber (und tut dies auch oft) den Ortsvektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r=x e_x+y e_y + ze_z"> in der Basis entwickeln, die sich an dem Ort befindet, zu dem er zeigt, anstatt in eine Basis am Ursprung. Die Komponenten des Ortsvektors in dieser Basis kann man z.B. über die Skalarprodukte mit der Basis erhalten <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_r = \vec{r}\cdot e_r,\ a_\theta = \vec{r}\cdot e_\theta,\ a_\phi = \vec{r}\cdot e_\phi"> <br />Das ist ziemlich einfach auszurechnen. Ich empfehle dir, es mal zu probieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2015 18:51<span class="gen"> </span> Titel: Re: Transformation Kugelkoordinaten</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Min Kowski hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich selbst tendiere zu ersten Version.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist auch korrekt. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Dann bleibt die Frage, welche Koeffizienten wären bei der 2. Version die Richtigen und wie kommt man auf die Koeff. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x,y,z)^T = r \vec e_r"> <br />Wieso kannst Du Dir selber überlegen <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Min Kowski</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2015 18:44<span class="gen"> </span> Titel: Transformation Kugelkoordinaten</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, ich habe eine Frage bzgl. der Koordinatentransformation von Kart. in Kugelkoordinaten: <br /> <br />Die Transformation ist ja: <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />(x,y,z,)^T = (r \sin \theta \cos \varphi , r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta)^T "> <br /> <br />Ich Frage mich nun in welcher Basis die rechte Seite der Glg. gegeben ist. Also entwender in der Standartbasis der Kartesischen oder Kugelkoordinaten. D.h. welche Variante ist korrekt? Entweder: <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />(x,y,z,)^T = r \sin \theta \cos \varphi e_x + r \sin \theta \sin \phi e_y + r \cos \theta e_z "> <br /> <br />oder: <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />(x,y,z,)^T = r \sin \theta \cos \varphi e_r + r \sin \theta \sin \phi e_{\varphi}+ r \cos \theta e_{\theta} "> <br /> <br /> <br />Ich selbst tendiere zu ersten Version. Dann bleibt die Frage, welche Koeffizienten wären bei der 2. Version die Richtigen und wie kommt man auf die Koeff. <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />a_i "> (s.u.)? <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />(x,y,z,)^T = a_1 e_r + a_2 e_{\varphi}+ a_3 e_{\theta} "> <br /> <br /> <br />Ich hoffe ihr versteht die Problematik und könnt mir helfen. Viele Grüße <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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