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[quote="xb"][latex] P_{diss}= 2\lambda \dot{x} ^{2} [/latex][b][/b][/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>thomaswening</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Okt 2015 16:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bin drauf gekommen! Danke! <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P_{dis}=F_{R}\dot{x}\propto \sin^{2}\left(\omega t+\varphi\right)">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>xb</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2015 19:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? P_{diss}= 2\lambda \dot{x} ^{2} "><span style="font-weight: bold"></span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>thomaswening</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Okt 2015 17:26<span class="gen"> </span> Titel: Abwärme gedämpfter linearer harmonischer Oszillator mit exte</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Ich soll den zeitlichen Mittelwert der dissipativen Leistung berechnen für einen gedämpften linearen harmonischen Oszillator mit externer Kraft. <br /> <br />Der Oszillator gehorcht der Bewegungsgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x}+\frac{2\lambda}{m}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x-\frac{f_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right)=0">. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Als homogene Lösung findet man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{h}=e^{-\lambda t/m}\left[a_{1}e^{\beta t}+a_{2}e^{-\beta t}\right]"> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta:=\sqrt{\left(\lambda /m\right)^{2}-\omega_{0}^{2}}">. <br /> <br />Auf die Diskussion der Parameter gehe ich hier nicht weiter ein, da sie für den weiteren Verlauf der Aufgabe nicht weiter relevant ist. Wichtig ist, dass die homogene Lösung wegen des Dämpfungsterms für große t verschwindet. <br /> <br />Für die spezielle Lösung betrachten wir die komplexe DG <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{z}+\frac{2\lambda}{m}\dot{z}+\omega_{0}^{2}z-\frac{f_{0}}{m}e^{i\omega t}=0">. <br /> <br />Als Lösung findet man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z=\left|A\right| e^{i\left(\omega t+\varphi\right)}">, <br /> <br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tan\varphi=\frac{2\lambda\omega/m}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left|A\right|=\frac{f_{0}/m}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+4\lambda^{2}\omega^{2}/m^{2}}}">. <br /> <br />Daraus ergibt sich die reelle spezielle Lösung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=\left|A\right|\cos\left(\omega t+\varphi\right)">. <br /> <br />Wir betrachten die dissipative Leistung für große t, d.h. die homogene Lösung verschwindet und wir rechnen nur mit der speziellen Lösung. <br /> <br />Die dissipative Leistung ist die Ableitung der Summe aus kinetischer Engergie T und dem Potenzial V(x): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P_{dis}=\frac{d}{dt}\left[m\dot{x}^{2}+\omega_{0}^{2}x-\frac{f_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right)\right]">. <br /> <br />Daraus erhält man <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P_{dis}\left(t\right)=\frac{1}{2}m\omega^{3}\left|A\right|^{2}\sin 2\omega t -\omega f_{0}\sin\omega t">. <br /> <br />Und diese Funktion hat eine Periode von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2\pi/\omega">. Daher möchte ich den Mittelwert berechnen mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{2\pi/\omega}P_{diss}(t)dt">. <br /> <br />Allerdings erhalte ich immer Null. Nun frage ich mich aber ein paar Dinge. <br /> <br />Ist die in der Bewegungsgleichung enthaltene externe Kraft wirklich Teil des Potenzials? Immerhin erfüllt sie die theoretischen Voraussetzungen durch ihre Unabhängigkeit von der Geschwindigkeit ist sie konservativ. <br /> <br />Wie interpretiert sich die Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P_{dis}\left(t\right)"> energetisch? Je nach den Faktoren ist es eine periodische Funktion mit y-Achsenabschnitt. Die Leistung ist die zeitliche Ableitung der am System verrichteten Arbeit. D.h. in den negativen Bereichen wird dem System Energie entnommen, in den positiven Bereichen ihr Energie hinzugefügt. Demnach müssen die negativen Bereiche gerade die Zeitspannen sein, in denen am Oszillator dissipative Arbeit aufgrund seiner Geschwindigkeit verrichtet wird. Die gleichzeitig vom Anregungssystem durch die externe Kraft zugeführte Arbeit kann in diesen Zeitspannen diese Energie nicht kompensieren. In den positiven Bereichen der Funktion ist dies genau umgekehrt. Ist diese Interpretation so richtig? <br /> <br />Deswegen frage ich mich, ob man wie in der Wechselstromlehre einfach über das Quadrat von P integrieren kann und danach die Wurzel ziehen? <br /> <br />Dennoch frage ich mich, warum trotz der Asymmetrie von P bzgl. der x-Achse bei der Mittelwertbildung über eine Periode Null herauskommt. <br /> <br />Wahrscheinlich unterliege ich einem Denkfehler. Ich bin für Eure Hilfe sehr dankbar! <br /> <br />LG Thomas</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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