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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="thomaswening"][b]Meine Frage:[/b]
Gegeben sei eine Kegelfläche, die der Bedingung [latex]z=\lambda r[/latex] genügt.

Es soll mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung eine Geodäte berechnet werden.

[b]Meine Ideen:[/b]
Das Längenelement ergibt sich durch Wahl von r als freien Variablen zu:
[latex]ds^{2}=\sqrt{\left(1+\lambda^{2}\right)dr^{2}+r^{2}d\varphi^{2}}=\sqrt{1+\lambda^{2}+r^{2}\left(\frac{d\varphi}{dr}\right)^{2}}dr[/latex].

Es ist also [latex]f\left(r,\varphi,\varphi'\right)[/latex] mit [latex]\varphi':=\frac{d\varphi}{dr}[/latex].

Mit der ELG [latex]\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0[/latex] ergibt sich aufgrund der Forminvarianz bzgl. Koodinatentransformationen:
[latex]0-\frac{d}{dr}\frac{r^{2}\varphi'}{\sqrt{1+\lambda^{2}+r^{2}\varphi'^{2}}}=0[/latex].

D.h. [latex]\frac{r^{2}\varphi'}{\sqrt{1+\lambda^{2}+r^{2}\varphi'^{2}}}=K=const[/latex].

Daraus ergibt sich durch Umformen
[latex]\frac{d\varphi}{dr}=\pm\frac{K}{r^{2}}\sqrt{\frac{1+\lambda^{2}}{1-K^{2}/r^{2}}}[/latex].

Diese Differenzialgleichung ist separabel, also durch Trennung der Variablen lösbar zu:

[latex]\varphi-\varphi_{0}=\pm K\sqrt{1+\lambda^{2}}\int_{r_{0}}^{r_{1}}\frac{dr}{r\sqrt{r^{2}-K^{2}}}[/latex].

Nun gilt es noch das Integral aufzulösen. Aber bevor ich mir die Arbeit mache, möchte ich mich versichern, dass ich auch keinen Murks gemacht habe bis hier.[/quote]

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