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[quote="xb"]Ich habe mir mal die Aufgabe betrachtet und ich glaube das stimmt das ist gut gemacht nur ds^2 müsste ds heißen[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>xb</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Okt 2015 16:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe mir mal die Aufgabe betrachtet <br />und ich glaube das stimmt <br />das ist gut gemacht <br />nur ds^2 müsste ds heißen</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>thomaswening</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Okt 2015 17:28<span class="gen"> </span> Titel: Geodäte auf einer Kegeloberfläche</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Gegeben sei eine Kegelfläche, die der Bedingung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z=\lambda r"> genügt.<br /><br />Es soll mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung eine Geodäte berechnet werden.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Das Längenelement ergibt sich durch Wahl von r als freien Variablen zu:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds^{2}=\sqrt{\left(1+\lambda^{2}\right)dr^{2}+r^{2}d\varphi^{2}}=\sqrt{1+\lambda^{2}+r^{2}\left(\frac{d\varphi}{dr}\right)^{2}}dr">.<br /><br />Es ist also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f\left(r,\varphi,\varphi'\right)"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi':=\frac{d\varphi}{dr}">.<br /><br />Mit der ELG <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0"> ergibt sich aufgrund der Forminvarianz bzgl. Koodinatentransformationen:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0-\frac{d}{dr}\frac{r^{2}\varphi'}{\sqrt{1+\lambda^{2}+r^{2}\varphi'^{2}}}=0">.<br /><br />D.h. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{r^{2}\varphi'}{\sqrt{1+\lambda^{2}+r^{2}\varphi'^{2}}}=K=const">.<br /><br />Daraus ergibt sich durch Umformen<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\varphi}{dr}=\pm\frac{K}{r^{2}}\sqrt{\frac{1+\lambda^{2}}{1-K^{2}/r^{2}}}">.<br /><br />Diese Differenzialgleichung ist separabel, also durch Trennung der Variablen lösbar zu:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi-\varphi_{0}=\pm K\sqrt{1+\lambda^{2}}\int_{r_{0}}^{r_{1}}\frac{dr}{r\sqrt{r^{2}-K^{2}}}">.<br /><br />Nun gilt es noch das Integral aufzulösen. Aber bevor ich mir die Arbeit mache, möchte ich mich versichern, dass ich auch keinen Murks gemacht habe bis hier.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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