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[quote="hansguckindieluft"]Hallo, ob Du es glaubst oder nicht. Ach das ist bereits eine Differentialgleichung. Und Du hast sie ja auch richtig gelöst. Der Weg, den ich in meinem ersten Beitrag gezeigt habe, ist im Grunde nichts anderes. Also noch mal ausführlich: Aus der Aufgabenstellung folgt die (nichtlineare) DGL 1. Ordnung: [latex] \dot{v} + k \cdot v^{2} = 0 [/latex] Diese kannst Du durch Trennung der Variablen und Integration lösen. Ich komme auf folgende allgemeine Lösung: [latex] v(t) = \frac{1}{k \cdot t + C} [/latex] Die Anfangsbedingung lautet v(0) = v0, womit sich C ermitteln lässt. Die angepasste Lösung der DGL lautet dann: [latex] v(t) = \frac{1}{k \cdot t + \frac{1}{v_0}} [/latex] Diese Gleichung nach t aufgelöst ergibt die Lösung, die Du auch schon durch das bestimmte Integral ermittelt hast. Nun zu Aufgabenteil b) Gesucht ist der Weg, der in der Zeit t=80s zurückgelegt wird. Diesen Weg erhältst Du aus der Integration der Geschwindigkeitsfunktion v(t) von t=0 bis t=80s. Die Musterlösung kann ich bestätigen. Gruß[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>hansguckindieluft</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Nov 2015 20:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ob Du es glaubst oder nicht. Ach das ist bereits eine Differentialgleichung. Und Du hast sie ja auch richtig gelöst. <br /> <br />Der Weg, den ich in meinem ersten Beitrag gezeigt habe, ist im Grunde nichts anderes. Also noch mal ausführlich: <br /> <br />Aus der Aufgabenstellung folgt die (nichtlineare) DGL 1. Ordnung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dot{v} + k \cdot v^{2} = 0 "> <br /> <br />Diese kannst Du durch Trennung der Variablen und Integration lösen. <br />Ich komme auf folgende allgemeine Lösung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v(t) = \frac{1}{k \cdot t + C} "> <br /> <br />Die Anfangsbedingung lautet v(0) = v0, womit sich C ermitteln lässt. <br />Die angepasste Lösung der DGL lautet dann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v(t) = \frac{1}{k \cdot t + \frac{1}{v_0}} "> <br /> <br />Diese Gleichung nach t aufgelöst ergibt die Lösung, die Du auch schon durch das bestimmte Integral ermittelt hast. <br /> <br />Nun zu Aufgabenteil b) <br />Gesucht ist der Weg, der in der Zeit t=80s zurückgelegt wird. <br />Diesen Weg erhältst Du aus der Integration der Geschwindigkeitsfunktion v(t) von t=0 bis t=80s. <br /> <br />Die Musterlösung kann ich bestätigen. <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>s_punkt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Nov 2015 16:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, erstmal danke für deinen Post. <br />Also mit DGL's ist da noch nicht viel, bin erst im ersten Semester. <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /> <br />Aus der Übung weiß ich nur, dass bei der b als Lösung 1848,4m rauskommt. Wie die dadrauf gekommen sind ist mir allerdings ein Rätsel.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>hansguckindieluft</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Nov 2015 16:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />sorry, ich glaube, ich war mit meinem vorherigen Post total auf dem Holzweg. <br />Ich sehe gerade, dass ja die Beschleunigung a mit -k*v^2 gegeben ist. <br />Ich hatte angenommen, -k*v^2 wäre eine Kraft. <br /> <br />Also ignoriere bitte meinen letzten Beitrag. <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>hansguckindieluft</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Nov 2015 16:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />für mich ist die Aufgabe ohne Angabe zur Masse des Schienenfahrzeuges nicht lösbar. <br /> <br />Es ergibt sich ja die folgende (nichtlineare) DGL 1. Ordnung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dot{v} + \frac{k}{m} \cdot v^{2} = 0 "> <br /> <br />Diese kannst Du durch Trennung der Variablen und Integration lösen. <br />Ich komme auf folgende allgemeine Lösung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v(t) = \frac{1}{\frac{k}{m} \cdot t + C} "> <br /> <br />Die Anfangsbedingung lautet v(0) = v0, womit sich C ermitteln lässt. <br />Die angepasste Lösung der DGL lautet dann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v(t) = \frac{1}{\frac{k}{m} \cdot t + \frac{1}{v_0}} "> <br /> <br />Plausibilitätskontrolle: <br />Bei t=0 ergibt sich eine Geschwindigkeit von v0. <br />Bei t => Unendlich geht die Geschwindigkeit gegen 0. <br /> <br />Die Lösung scheint also plausibel zu sein. Aber die Geschwindigkeit ist eben auch von der Masse des Fahrzeugs abhängig (was auch anschaulich so sein sollte). <br /> <br />Gruß <br /> <br />EDIT: und die Einheit von k sollte dann auch kg/m sein und nicht m^-1</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>s_punkt</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Nov 2015 15:42<span class="gen"> </span> Titel: Strecke in Abhängigkeit von t ermitteln</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen:<br />Ein Schienenfahrzeug fährt mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_{0}=const.">. Nach Abschalten des Triebwerks zur Zeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t_{0}=0"> wird das Fahrzeug im wesentlichen durch den Luftwiderstand gebremst; die Beschleunigung ist geschwindigkeitsabhängig: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a=-Kv^{2}">.<br />a) Nach welcher Zeit t1 ist die Geschwindigkeit auf v1 abgesunken?<br />b) Welche Strecke s1 wurde in der Zeit t1 zurückgelegt?<br />v0=120km/h, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?K=3.75\cdot 10^{-4}m^{-1}">, v1=60km/h<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />a) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? a=\frac{dv}{dt}; \int_{t_{0}}^{t_{1}} dt=\int_{v_{0}}^{v_{1}} \frac{dv}{a}=\int_{v_{0}}^{v_{1}} \frac{dv}{-Kv^{2}}=\frac{1}{K}\cdot\frac{1}{v}|_{v_{0}}^{v_{1}}">, wenn ich dort v1 und v0 einsetze bekomme ich 22,222222 raus und rechne das mal 3,6 damit ich 80m/s bekomme. Soweit bin ich durchgestiegen, aber bei 2 fehlt mir vollkommen der Ansatz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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