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[quote="GvC"]Ich verstehe gar nicht, warum da irgendein [latex]\omega_0[/latex] in der Lösungsgleichung vorkommen soll. Die Aufgabenstellung ist eindeutig: [quote]Drücken Sie [latex]\bar{\omega}[/latex] als Funktion von [latex]\theta[/latex], [latex]\theta_0[/latex] und t aus.[/quote] Das geht aber nur, wenn t[size=9]0[/size]=0, was aus der Aufgabenstellung nicht hervorgeht. Aber für den Fall, dass t[size=9]0[/size] tatsächlich Null ist, ist die Lösung einfach, nämlich [latex]\bar{\omega}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\theta-\theta_0}{t}[/latex] Fals da was anderes rauskommen soll, ist die Aufgabe falsch gestellt.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>as_string</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Nov 2015 14:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br />Da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta(t)"> eine Stammfunktion von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega(t)"> ist, kommt das Integral eben gerade auf die Differenz der Winkel geteilt durch die Zeitdifferenz raus. <br />Allgemein ist es halt über das Integral und geht dann auch für andere zeitabhängige Variablen. Mir war es wichtig, erst einmal das allgemeine zu nennen. <br /> <br />Das mit dem t0 ist mir auch aufgefallen, das war für mich noch ein weiterer Grund, warum ich es so allgemein formuliert hatte. <br /> <br />Angenommen t0 ist eigentlich 0 un zu diesem Zeitpunkt ist theta auch theta0 und w(0)=w0, dann hättest Du ja: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta(t) &=& \theta_0 + \omega_0 t + \frac 1 2 \alpha_0 t^2 <br />\omega(t) &=& + \alpha_0 t"> <br />Wobei die Ableitung von ersterem nach der Zeit eben gerade letzteres ist, bzw. umgekehrt das eine die Stammfunktion des anderen. <br />Wenn Du ganz streng mein Integral hinschreibst, dann hättest Du ja: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar \omega &=& \frac{\int_0^t \left(\omega_0 + \alpha t^\prime\right)\,\mathrm d t^\prime}{t}"> <br />An dieser Stelle könntest Du stur das Integral lösen. Du würdest als Stammfunktion wahrscheinlich eine bekommen, die kein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta_0"> beinhaltet aber sonst dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta(t)"> entspricht. Trotzdem wäre auch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta(t)"> natürlich eine gültige Stammfunktion, weil Du ja zu einer Stammfunktion eine beliebige Konstante hinzuaddieren kannst und bekommst dann wieder eine andere Stammfunktion. Da Du ja dann in die Stammfunktion die beiden Integralgrenzen noch einsetzen musst und die Differenz bilden musst, fallen Konstanten ja so wie so wieder raus, also das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta_0"> würde gelöscht werden. <br />Deshalb steht am Ende dann genau die Formel von GvC da, für diesen Spezialfall aber nur. <br /> <br />Umgekehrt kannst Du aber das Integral auch einfach zerlegen, weil es eine Summe ist: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar \omega &=& \frac{\int_0^t \left(\omega_0 + \alpha t^\prime\right)\,\mathrm d t^\prime}{t} <br />&=& \frac{\int_0^t \omega_0\,\mathrm d t^\prime + \int_0^t \alpha t^\prime\,\mathrm d t^\prime}{t} <br />&=& \frac{\omega_0 t + \int_0^t \alpha t^\prime\,\mathrm d t^\prime}{t} <br />&=& \omega_0 + \frac{\int_0^t \alpha t^\prime\,\mathrm d t^\prime}{t} <br />&=& \omega_0 + \frac{\frac 1 2 \alpha t^2}{t} = \omega_0 + \frac 1 2 \alpha t"> <br />Und hier hast Du Dein hinzu addiertes w0. Du musst das also nicht nur irgendwie einfach so dazu addieren, sondern wenn Du w(t) gleich richtig ansetzt, dann kommt das automatisch so raus. <br /> <br />Übrigens ist es hier dann auch so, wie bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer gleichmäßigt beschleunigten Bewegung: w0 ist ja die Start-Winkelgeschwindigkeit. Nach einer Zeit t ist die Winkelgeschwindigkeit ja um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha t"> angewachsen. Das arithmetische Mittel von Anfangs- und End-Winkelgeschwindigkeit ist also gerade <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_0 + \frac 1 2 \alpha t">. Wenn Du also gleichmäßige Beschleunigung hast, egal ob bei einer linearen oder einer Kreisbewegung, dann ist die mittlere (Winkel-)Geschwindigkeit einfach der Mittelwert von Anfangs- und End(winkel-)geschwindigkeit. <br /> <br />Gruß <br />Marco</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>aaabbb</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2015 21:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, ich probiere morgen mal aus das w0 direkt mit ins Integral zu schreiben. <br /> <br />@GvC: Deine Lösung ist erst in b) gefragt. In a) soll man das erst so machen wie von as_string beschrieben</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2015 18:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe gar nicht, warum da irgendein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_0"> in der Lösungsgleichung vorkommen soll. Die Aufgabenstellung ist eindeutig: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Drücken Sie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{\omega}"> als Funktion von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta">, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta_0"> und t aus.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das geht aber nur, wenn t<span style="font-size: 9px; line-height: normal">0</span>=0, was aus der Aufgabenstellung nicht hervorgeht. Aber für den Fall, dass t<span style="font-size: 9px; line-height: normal">0</span> tatsächlich Null ist, ist die Lösung einfach, nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{\omega}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\theta-\theta_0}{t}"> <br /> <br />Fals da was anderes rauskommen soll, ist die Aufgabe falsch gestellt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>as_string</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2015 18:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eigentlich ist Deine w(t) falsch. Schon da musst Du w0 doch dazu addieren. Dann hättest Du das auch im Integral und dann müsstest Du am Ende nicht noch w0 manuell dazu addieren. <br /> <br />Gruß <br />Marco</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>aaabbb</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2015 15:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, hat geholfen <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" />. <br /> <br />Ich muss also die Funktion f(t) durch w(t) ersetzen. <br />Da w(t)=at ist, ergibt sich aufgeleitet 0,5*(t_1+t_0)*a <br /> <br />Dann wäre der gesamte Mittelwert einfch noch +w_0. <br /> <br />Vielen Dank <br /> <img src="images/smiles/fruit.gif" alt="Tanzen" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>as_string</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2015 11:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br />Ganz allgemein ist der zeitliche Mittelwert einer veränderlichen Größe ja immer das Integral der Größe über diesen Zeitbereich geteilt durch die Zeitspanne. Also sowas wie: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar f = \frac{\int_{t_0}^{t_1} f(t)\,\mathrm{d} t}{t_1 - t_0}"> <br />Hier brauchst Du also ein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega(t)"> statt dem f(t). <br />Hilft das schon weiter? <br /> <br />Gruß <br />Marco</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>aaabbb</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2015 11:11<span class="gen"> </span> Titel: Aufgabe Winkelgeschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br />folgende Aufgabe bereitet mir Probleme. <br />Und zwar weiß ich nicht genau wie ich auf die mittlere Winkelgeschwindigkeit komme.. <br />Für die Winkelgeschwindigkeit gilt ja w=w_0+at <br /> <br />(a ist hier die Winkelbeschleunigung)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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