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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Widderchen"][b]Meine Frage:[/b]
Hallo,

Eine rechteckige Platte der Leitfähigkeit [latex] \sigma [/latex] befinde sich in der x-y-Ebene in dem Gebiet [latex] 0 \leq x \leq L_x  \,\, , \,\, 0 \leq y \leq L_y [/latex] . Durch eine externe Batterie der Spannung U und einer Elektrode am oberen Rand der Platte werde ein linear anwachsendes Potential der Form [latex] \Phi(x,y = L_y) = U x/L_x [/latex] aufrechterhalten. Die Normalkomponente des Stroms verschwinde an allen anderen drei Rändern. Berechne:

a) das Potential Phi(x,y) an jedem Punkt auf der Platte in Form einer Fourier-Reihe.

b) die Stromverteilung j an der Platte.

c) den elektr. Widerstand R der Anordnung, wenn h die Dicke  der Platte ist und [latex] L_y >> L_x [/latex].

[b]Meine Ideen:[/b]
Zu a):

Zunächst habe ich die Laplace-Gleichung [latex] \Delta \Phi = 0 [/latex] über den Produktansatz [latex] \Phi (x,y) = X(x) \cdot Y(y) [/latex] und erhalte die zu lösende Dgl.

[latex] \frac{X´´(x)}{X(x)} = - \frac{Y´´(y)}{Y(y)} = -s^2 [/latex], wobei s eine noch zu bestimmende Konstante ist.  Diese DGl habe ich in die beiden Dgl

X''(x) + s^2 X (x) = 0   \,\,\,\,\, Y''(y) - s^2 Y (y) = 0  getrennt.

Die Lösungsansätze dieser Dgls lauten:

[latex] X(x) = a_1 \cos(sx) + a_2 \sin(sx)   \,\,\,  Y(y) = b_1 \cosh(sy) + b_2 \sinh(sy) [/latex] .

Anschließend habe ich die Randbedingungen genutzt, nämlich dass die partiellen Ableitungen des Potentials in x=0  y=0 und x=L_x verschwinden müssen. Nach langem Rechnen erhalte ich dann den Ausdruck:

[latex] \Phi(x,y) = \frac{2U}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty  ((-1)^{n}-1)/(n^2) \frac{\cosh(n \pi y/L_x)}{\cosh(n \pi L_y/L_x)} \cos(n \pi x/L_x)  [/latex]

Allerdings steht in einem Hinweis, dass die Catalansche Konstante in diesem Ergebnis auftauchen sollte. Das alternierende Vorzeichen habe ich in der Lösung, aber keine quadratische n-Abhängigkeit im Nenner!

Wo liegt der Fehler?? Kann mir jemand behilflich sein?

Viele Grüße
Widderchen[/quote]

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