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[quote="Myon"]Diese Formel für die Bremsstrecke gilt nur bei einer konstanten Bremsbeschleunigung. Die gegebene Kraft ist aber geschwindigkeitsabhängig, die dadurch bewirkte Beschleunigung a=F/m ebenfalls (und damit nicht konstant). In diesem allgemeineren Fall ist der Bremsweg [latex]s_\mathrm{B}=\int\limits_0^{\infty}v(t)\,\dd t[/latex]. Für den Fall n=1 (der Fall n=0 tritt gar nicht auf, hab das in meinem ersten Beitrag noch korrigiert) musst Du also v(t) und die Integrationskonstante bestimmen, mit der sich die gegebene Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v_0 ergibt. Dieses v(t) hat nicht die Form wie für n>1, sondern ist exponentiell von der Zeit abhängig. Dann den Bremsweg über das Integral berechenen. Für n>1 ergibt sich der Geschwindigkeitsverlauf v(t) wie oben angegeben, und wenn man wieder das Integral löst, sieht man, dass dieses für alle n>1 divergiert, die Laufstrecke also nicht beschränkt ist.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Mai 2017 18:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, das ist wohl Antwort, die verlangt wird. Für n=1 ergibt sich die Laufstrecke wie von dir angegeben, für n>1 ist die Strecke nicht beschränkt, da die Kraft zu schnell abnimmt. Dabei wäre es wahrscheinlich sinnvoll, kurz rechnerisch zu zeigen, dass das Integral und damit die Strecke gegen unendlich geht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Schrank</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Mai 2017 18:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke! Habe ich verstanden und nachgerechnet. <br /> <br />Bleibt nur noch die Frage, wie weit das Teilchen bei gegebenen Anfangsdaten kommt. Ich verstehe diese Frage nicht ganz, denn für n=1 ist es eben die endliche Laufstrecke <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_{0}\frac{m}{k}"> wie bereits berechnet, und für n>1 kommt es "unendlich" weit. Dann wäre ja gar nichts mehr zu rechnen. Oder verstehe ich das jetzt falsch?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Mai 2017 14:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Diese Formel für die Bremsstrecke gilt nur bei einer konstanten Bremsbeschleunigung. Die gegebene Kraft ist aber geschwindigkeitsabhängig, die dadurch bewirkte Beschleunigung a=F/m ebenfalls (und damit nicht konstant). <br /> <br />In diesem allgemeineren Fall ist der Bremsweg <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_\mathrm{B}=\int\limits_0^{\infty}v(t)\,\dd t">. <br /> <br />Für den Fall n=1 (der Fall n=0 tritt gar nicht auf, hab das in meinem ersten Beitrag noch korrigiert) musst Du also v(t) und die Integrationskonstante bestimmen, mit der sich die gegebene Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v_0 ergibt. Dieses v(t) hat nicht die Form wie für n>1, sondern ist exponentiell von der Zeit abhängig. Dann den Bremsweg über das Integral berechenen. <br /> <br />Für n>1 ergibt sich der Geschwindigkeitsverlauf v(t) wie oben angegeben, und wenn man wieder das Integral löst, sieht man, dass dieses für alle n>1 divergiert, die Laufstrecke also nicht beschränkt ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Schrank</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Mai 2017 12:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe das noch nicht ganz. <br />Also die Formel für die Bremsstrecke ist doch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_{B}=\frac{v_{0}^{2}}{2a}"> <br /> <br />Also für n=0: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_{B}=-\frac{v_{0}^{2}m}{\kappa}"> <br /> <br />Und für n=1: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_{B}=-\frac{v_{0}^{2}m}{\kappa v}"> <br /> <br />Ist das so gedacht? Und wie habe ich damit gezeigt, dass die Strecke nicht divergent ist?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2017 23:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zuerst einmal würde ich eine Fallunterscheidung machen. <br /> <br />Für n=1 kannst Du die Bremsstrecke explizit berechnen und hast damit auch gezeigt, dass die Strecke nicht divergent ist. <br /> <br />Für n=2, 3... erhalte ich ähnlich wie Du (wahrscheinlich habe ich die Integrationskonstante anders gewählt) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v=\left(\frac{m}{(n-1)(\kappa t+C)}\right)^{1/(n-1)}"> <br /> <br />Dabei wurde angenommen, dass zu Beginn v>0 gilt. Durch Integration mittels Substitution von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u=\kappa t+C"> kann man nun zeigen, dass x(t) für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t\rightarrow\infty"> und alle n>1 gegen unendlich geht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Schrank</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2017 21:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, das scheint doch vielen hier Probleme zu bereiten, hätt ich nicht gedacht <br /> <br />Würde mich aber auch über Ideen/Diskussionsbeiträge freuen <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Schrank</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Mai 2017 15:56<span class="gen"> </span> Titel: Newtonsche Bewegungsgleichung lösen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Ein sich mit der Geschw. v auf der x-Achse bewegendes Teilchen wird durch eine Kraft <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F=-\kappa v |v|^{n-1}">, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?n=0,1,2,..."> abgebremst (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\kappa > 0">).<br /><br />Nun soll man die Newtonschen Bewegungsgleichungen lösen und angeben, für welche n das Teilchen nach einer endlichen Laufstrecke zur Ruhe kommt und wie weit es bei geg. Anfangsdaten kommt.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Newton-Gl.: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \cdot \frac{dv}{dt} = -\kappa v^{n}"><br /><br />Lösung (Trennung d. Var.): <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \sqrt[1-n]{(1-n)(-\frac{\kappa}{m}t+c) } "><br /><br />Ist das soweit korrekt? Wie finde ich nun heraus, für welche n es nach einer endl. Strecke zur Ruhe kommt? Das wäre ja für v=0 der Fall, aber da n ja ungleich 1 sein muss, hat das ja mit n nichts mehr zu tun, oder?<br /><br />Bitte um Hilfe <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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