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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="bloebb"]Hallo!

Ich habe eine Frage zu den Seiten 156 und 157 von https://web.physik.rwth-aachen.de/~fluegge/Vorlesung/PhysIpub/8.VI.Kapitel-Dynamik_Starrer_Koerper.pdf

Dort wird zuerst das Volumen eines Zylinders angeschrieben:

[latex]V = r^2 * \Pi * l[/latex]

Grundsätzlich ist das r eine Konstante. Es ist der Radius des Zylinders.

Weil es für die folgenden Berechnungen wichtig ist, wird nun V nach r abgeleitet:

[latex]\frac{dV}{dr} = l * 2 * \Pi * r [/latex]

Das Volumen hängt also vom Radius ab. Dann wird noch berücksichtigt, dass jedes Material eine gewisse Dichte [latex]\rho = \frac{dm}{dV}[/latex] hat. Eingefügt, erhält man:

[latex]\frac{dm}{dr} = \rho * l * 2 * \Pi * r[/latex]

dm ist die Masse m abgeleitet nach dem Radius r. Je größer der Radius r, desto größer die Masse m.

So, nichts aufregendes bis hierher. Diese eine Formel nehmen wir einfach mal als gegeben.

Jetzt fehlt hier etwas in der PDF, das füge ich hier hinzu. Nun gibt es in der Physik einen sogenannten Trägheitstensor. Das ist eine Matrix mit 3 x 3 Elementen. Das Element rechts unten ist folgendermaßen definiert:

[latex]I_{33} = \int_V ((x_1^2 + x_2^2) * dm)[/latex]

Jetzt will ich mal in Kürze erklären, worum es hier geht. Der Zylinder besteht aus unglaublich vielen kleinen Teilchen. Jedes Teilchen hat eine bestimmte Koordinate, die mit [latex]x_1[/latex] und [latex]x_2[/latex] definiert ist. Das ist gewöhnungsbedrüftig. In der Schule entspricht [latex]x_1[/latex] der x-Koordinate und [latex]x_2[/latex] der y-Koordinate.

Das heißt, wir haben hier ein Integral über Teilchen der Koordinate [latex](x_1, x_2)[/latex] und dem schon oben erwähnten dm mit der Einheit kg, ist also eine Masse.

[latex]x_1^2 + x_2^2[/latex] soll hier nun einem Radius zum Quadrat entsprechen (Satz von Pythagoras): [latex]r^2 = x_1^2 + x_2^2[/latex]

Jetzt bin ich mir aber unsicher. Das obere r ist eigentlich eine Konstante, die für den Radius des Zylinders steht. Dieses neue r ist aber variabel, es steht für all die unterschiedlichen Teilchen, die sich innerhalb des Zylinderradius des anfangs erwähnten r befinden.

Ich mische hier mal alles kunterbunt zusammen in das Integral:

[latex]I_{33} = \int_0^R (r^2 * \rho * l * 2 * \Pi * r) dr[/latex]

Das erste r (zum Quadrat) steht für die diversen Teilchen im Zylinder, das zweite r ganz hinten im Integrand steht für den immer gleichen Radius des Zylinders.

Trotzdem wird das eine r scheinbar wie das andere r behandelt im weiteren Ablauf in der PDF. [latex]r^2[/latex] und r zusammengefügt und den Rest vor das Integral gesetzt:

[latex]I_{33} = \rho * l * 2 * \Pi * \int_0^R r^3 dr = \rho * l * 2 * \Pi * \frac{r^4}{4}|_0^R = \rho * l * 2 * \Pi * \frac{R^4}{4} [/latex]

Das steht dann wieder in der PDF. Hier wird nun von 0 bis zum Radius R integriert. Hier steht also ein großes R. Es steht für den Radius des Zylinders, also für das, was ich eigentlich schon weiter oben als Konstante betrachten würde. D. h. rein gefühlsmäßig hätte ich gesagt, wenn man den Radius des Zylinders als Konstante betrachtet, müsste dann eigentlich definiert sein:

[latex]\frac{dm}{dR} = \rho * l * 2 * \Pi * R[/latex]

Jetzt also mit großem R. Und dementsprechen im Integral:

[latex]I_{33} = \int_0^R (r^2 * \rho * l * 2 * \Pi * R) dR[/latex]

Zuerst das kleine r, das für die Radien der vielen Teilchen innerhalb des Zylinders stehen, und hinten das große R, das für den Zylinderradius steht.

Allerdings ist das ein Blödsinn, wie man sofort sieht. Denn hier wäre [latex]r^2[/latex] eine Konstante und nur R dürfte integriert werden. Da kommt folgender Blödsinn raus:

[latex]I_{33} = r^2 * \rho * l * 2 * \Pi * \int_0^R R dR = r^2 * \rho * l * 2 * \Pi * R|_0^R  = r^2 * \rho * l * 2 * \Pi * \frac{R^2}{2} [/latex]

Das sagt einem schon die Logik, dass das ein Blödsinn sein muss, da man auch ganz sicher nach dem kleinen r integrieren muss. Aber nach meiner Überlegung gäbe es halt einen Unterschied zwischen dem r der Teilchen und dem konstanten R vom Zylinder.

Jetzt meine Frage: warum darf man im Integral die Radien der Teilchen genau so behandeln wie den Radius des Zylinders? Warum darf man diese 2 Sachen einfach zusammenführen? Warum ist der Radius des Zylinders keine Konstante?[/quote]

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