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So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Äther"][quote="Bfury"]Ein freier, harmonisch gedämpfter Oszillator wird bei den Anfangsbedingungen [latex]x_0 =?[/latex] und [latex]v_0 = 0[/latex] in reibungsfreie Schwingung versetzt.[/quote]
Ist das die korrekte Aufgabenstellung? Ein gedämpfter Oszillator kann nicht reibungsfrei schwingen - das ist ein Widerspruch.

[quote="Bfury"]Die Funktion für die Schwingung lautet [latex]x(t) = A(t)e^{-\delta t}\cos(\omega t)[/latex] [/quote]
Wieso A(t)? Die Amplitude ist konstant.

[quote="Bfury"]Warum ist die Funktion denn [latex]x(t) = A(t)e^{-\delta t}\cos(\omega t)[/latex]?

Ich weiß, dass diese Funktion eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist und die allgemeine Lösung ja bloß aus linear unabhängigen speziellen Lösungen besteht.

Je nach Betrachtung hätte man ja auch den Sinus-Teil der allgemeinen Lösung verwenden können, oder?[/quote]
Die komplexe Lösung der Schwingungsgleichung ist:
[latex]x(t)=\mathrm{e}^{-\delta t}\left(c_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+c_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right)[/latex]
Der Realteil kann geschrieben werden als:
[latex]x(t)=A\mathrm{e}^{-\gamma t}\cos(\omega t+\phi)[/latex]
Warum? Das ist eine nicht besonders komplizierte Rechnung, die aber etwas aufwändig ist, kannst du z.B. hier nachlesen:
http://beltoforion.de/article.php%3Fa%3Dharmonischer_oszillator

Du könntest natürlich genausogut:
[latex]x(t)=A\mathrm{e}^{-\gamma t}\sin(\omega t+\phi)[/latex]
benutzen, das macht ja keinen Unterschied, da die Sinusfunktion nichts anderes ist als eine verschobene Cosinusfunktion.

[quote="Bfury"]Aber warum wird hier nicht die allgemeine Lösung

[latex]x(t) = e^{-\delta t} (c_1\cos(\omega t) + c_2\sin(\omega t))[/latex]

verwendet? [/quote]
Es wird die allgemeine Lösung (bzw. deren Realteil) verwendet.
[latex]x(t)=A\mathrm{e}^{-\gamma t}\cos(\omega t+\phi)[/latex]
und
[latex]x(t)=\mathrm{e}^{-\gamma t}\left(c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)\right)[/latex]
sind äquivalent.

[quote="Bfury"]Liegt das daran, dass bei der Anfangsbedingung  [latex]\dot{x}(t=0) = v(t=0) = v_0 = c_2 = 0[/latex] der Sinus-Anteil der allg. Lösung verschwindet?[/quote]
Nein, tut er nicht. Aus
[latex]\dot x(0)=0[/latex] 
folgt
[latex]c_2\omega-c_1\gamma=0[/latex] 
und daraus folgt NICHT, dass der Sinusteil verschwindet.

Ich weiß nicht ob es dafür einen rationalen Grund gibt. Ich würde auch die andere Form benutzen, einfach weil sie anschaulicher ist. Aber mathematisch betrachtet gibt es dafür vermutlich keinen Grund.[/quote]

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