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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Enthalpus-Laplacus"]Zu 1)
Nach dem Schließen des Schalters wird die im Kondensator gespeicherte Energie über R in Wärme umgewandelt. Nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz ist die Summe aller Ströme in einer Masche gleich Null. Nach deiner Skizze gilt nun:

[latex]U_0 - RI=0[/latex]

[latex]U=\frac{Q}{C}[/latex]

Die Ladung des Kondensators nimmt ab, also:

[latex]I=-\frac{dQ}{dt}[/latex]

I in die Maschengeleichung eingesetzt:

[latex]\frac{Q}{C}+R\frac{dQ}{dt}=0[/latex]

Dies ist eine Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung erfolgt durch Trennung der Variablen:

[latex]\frac{dQ}{Q}=-\frac{1}{RC}dt[/latex]

und anschließender Integration:

[latex]\int_{Q'=Q_0}^{Q(t)}\frac{dQ'}{Q'}=-\frac{1}{RC}\int_{t=0}^{t}dt[/latex]

Das Ergebnis ist die Ladungsabnahme im C pro Zeit

[latex]Q(t)=Q_0e^{-\frac{t}{RC}}[/latex]

Differentiation nach dt ergibt Definitionsgemäß den Strom I(t):

[latex]I=\frac{dQ(t)}{dt}[/latex]

[latex]I(t)=\frac{Q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}[/latex]

mit den Beziehungen

[latex]\frac{Q_0}{C}=U_0[/latex]

[latex]\frac{U_0}{R}=I_0[/latex]

führt dies auf:

[latex]I(t)=I_0e^{-\frac{t}{RC}}[/latex]

und mit

[latex]I=\frac{U_0}{R}[/latex]

letztlich zur gesuchten Gleichung U(t):

[latex]U(t)=U_0e^{-\frac{t}{RC}}[/latex]

zu 2)
Durch logarithmieren bekommst du die Zeit:

[latex]ln\frac{U(t)}{U_0}=-\frac{t}{RC}[/latex]

[latex]t=-RC\cdot ln|\frac{U(t)}{U_0}|[/latex]

mit der Beziehung für logarithmen dass der Exponent des logarithmusarguments als Faktor vor den ln kommt ergibt dies:

[latex]t=RC\cdot ln\frac{U_0}{U(t)}[/latex][/quote]

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