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[quote="DeltX"][quote]Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus. [/quote] Oh, das verstehe ich tatsächlich nicht. Ich dachte, wenn ich die entsprechenden Gleichungen der physikalischen Theorien sind Turing-berechenbar? Zb in der Mechanik usw. Warum sind sie es nicht?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2024 21:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das wäre ja nicht das erste Mal. Als Dirac seine Delta-Funktion eingeführt hat, haben die Mathematiker auch erstmal entnervt mit den Augen gerollt. Dann haben sie Distributionen erfunden und alles war wieder gut.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dirac hat die Delta-Funktion nicht "erfunden", sowas in der Art hat schon Cauchy diskutiert. Und Cauchy war Mathematiker 🙃</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2024 20:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">... darum interessiert Mathematiker auch, ob man es irgendwie mathematisch befriedigend definieren könnte.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wäre ja nicht das erste Mal. Als Dirac seine Delta-Funktion eingeführt hat, haben die Mathematiker auch erstmal entnervt mit den Augen gerollt. Dann haben sie Distributionen erfunden und alles war wieder gut.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Richtig, infinitesimale Größen, mit denen Physiker schon lange vor einer Definition der hyperrellen Zahlen fröhlich hantierten, wäen ein weiteres Beispiel.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2024 18:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">... darum interessiert Mathematiker auch, ob man es irgendwie mathematisch befriedigend definieren könnte.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wäre ja nicht das erste Mal. Als Dirac seine Delta-Funktion eingeführt hat, haben die Mathematiker auch erstmal entnervt mit den Augen gerollt. Dann haben sie Distributionen erfunden und alles war wieder gut.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2024 17:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, das verstehe ich. <br /> <br />Ich dachte auch eher, dass da "schlimmere mathematisch unzulässige" Handlungen mit gemeint wären (in etwa auf dem Niveau "in der Summe kürzen usw.).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 22:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nur warum werden dann solche verbotenen Operationen in der Quantenfeldtheorie einfach toleriert? <br />Da müssten doch eigentlich die Mathematiker protestieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Heisenberg wollte zunächst Mathematik studieren. Als er bei einen Gespräch dem Münchener Mathematikprofessor von Lindemann berichtete, er habe sich mit der Relativitätstheorie Einsteins befasst und Weyls Buch dazu gelesen hatte, meinte der nur: "Dann sind Sie für die Mathematik sowieso schon verdorben". <br /> <br />Ernsthaft: Wenn aus den o.g. undefinierten Objekten der Physiker eine Genauigkeit dieser Art … <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Anomalous_magnetic_dipole_moment" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Anomalous_magnetic_dipole_moment</a> <br /> <br />… folgt, kann das den Physikern egal sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 22:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Völlig undefiniert ist dagegen meines Wissens nach <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \mathcal{D}\phi"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Na ja... "völlig" würde ich nicht sagen <img src="images/smiles/hammer.gif" alt="Hammer" border="0" /> aber Mathematiker sind sicher nicht zufrieden... macht zum Glück nichts <img src="images/smiles/prost.gif" alt="Prost" border="0" /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nur warum werden dann solche verbotenen Operationen in der Quantenfeldtheorie einfach toleriert? <br />Da müssten doch eigentlich die Mathematiker protestieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Weil sie funktioniert <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> ... darum interessiert Mathematiker auch, ob man es irgendwie mathematisch befriedigend definieren könnte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 21:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nur warum werden dann solche verbotenen Operationen in der Quantenfeldtheorie einfach toleriert? <br />Da müssten doch eigentlich die Mathematiker protestieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 21:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eine verbotene mathematische Operation kann ich hier nun aber nicht erkennen. Eher einen skurrilen Weg, wie man zu der Näherung kommt. Oder habe ich da etwas übersehen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Verboten wäre die im ersten Beispiel der asymptotischen Reihe durchgeführte Vertauschung <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int _{0}^{\infty } dw \sum_{n=0}^{\infty} \to \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dw "> <br /> <br />Völlig undefiniert ist dagegen meines Wissens nach <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \mathcal{D}\phi"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 18:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nochmals vielen Dank für die Ausführung. <br /> <br />Eine verbotene mathematische Operation kann ich hier nun aber nicht erkennen. Eher einen skurrilen Weg, wie man zu der Näherung kommt. Oder habe ich da etwas übersehen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 07:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">warum ist es mathematischen überhaupt unzulässig, die Summe anstatt gegen ein unendliches k gegen ein endlichen n laufen zu lassen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die endliche Summe von k=0 bis n ist natürlich zulässig. Das sind ja gerade die o.g. t_n, die mathematisch sinnvoll definiert sind und anhand von Experimenten bestätigte extrem gute Näherungswerte liefern. <br /> <br />Gerade weil das so ist, hält man ja T nicht für völligen Nonsense, sondern glaubt, dass es ein E gibt, für das T nur eine ungeschickte Darstellung ist. <br /> <br /> <br />Konkret: Man betrachtet in der QFT und da insbs. in der Streutheorie, Amplituden für ein- und auslaufende in Teilchen, sogenannte in- und out-Zustände. Die Amplitude A hängt von den Sorte, den Impulsen und den Spins der in- und out-Zustände ab. Mittels des Pfadintegrals findet man eine sogenannte <span style="font-weight: bold">effektive Wirkung</span>, aus der die Amplituden A folgen. <br /> <br />Die Amplitude ist gegeben durch eine formale Taylorentwicklung in einer künstlich eingeführten Funktion J um J=0. Die effektive Wirkung spielt also die Rolle einer sogenannten <span style="font-weight: bold">erzeugenden Funktion</span>. <br /> <br />Diese Amplitude A ist nun eine Funktion der Impulse und der Spins führt auf eine Darstellung <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = \sum_{k=0}^\infty g^k a_k = \sum_{k=0}^\infty g^k \sum_f I_{k,f}"> <br /> <br />g ist die Kopplungskonstante, d.h. wir haben zunächst eine Taylor-Entwicklung um g=0. Die Summe je Potenz k läuft über alle <span style="font-weight: bold">Feynman-Diagramme</span>, nummeriert mit f, die in dieser Ordnung und für diesen Prozess beitragen; jedes I in dieser Summe ist ein Feynman-Integral; deren Form folgt wiederum aus der effektiven Wirkung. <br /> <br />Nun kann man für die QFTs wie QED und QCD mathematisch beweisen, dass * je Ordnung k die Summen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_k = \sum_f I_{k,f}"> <br /> <br />allesamt endlich sind, dass das so berechnete A alle Symmetrien respektiert, dass insbs. die S-Matrix unitär ist u.a. <br /> <br />Die Taylorreihe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = \sum_{k=0}^\infty g^k a_k"> <br /> <br />ist vermutlich eine asymptotische Reihe, deren Konvergenzradius um g=0 Null ist, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_{g = 0} = a_0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_{g > 0} = {\color{red} \text{sinnlos}}"> <br /> <br />jedoch liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A^{(N)} = \sum_{k=0}^N g^k a_k"> <br /> <br />für kleine N ** alles, was wir am LHC und anderen Beschleunigern messen – in hervorragender Übereinstimmung mit dem Experiment. <br /> <br />D.h. wir sind sicher, dass die endlichen Ausdrücke zutreffen, und wir glauben, dass hinter der effektiven Wirkung etwas mathematisch Wohldefiniertes steckt, für das wir bisher nur eine "ungeschickte" Formulierung vorliegen haben. <br /> <br /> <br />* nach Renormierung und für bestimmte Bereiche der Impulse <br />** weil wir aufgrund der Komplexität nicht in der Lage sind, die I's für größere auszurechnen <br /> <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_action" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_action</a> <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2024 07:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank für die Antwort! <br /> <br />Noch ganz schnell zum Abschluss: warum ist es mathematischen überhaupt unzulässig, die Summe anstatt gegen ein unendliches k gegen ein endlichen n laufen zu lassen? Und wenn es mathematisch unzulässig ist: warum wird es dann in der Physik überhaupt akzeptiert? Da müssten die Mathematiker doch eigentlich alle protestieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 19:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also so gesehen ist dann das ganze noch in der Forschungsphase?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nee, wir haben schon alles erforscht, vertuschen das jedoch wegen der Drittmittel und der super Arbeitsbedingungen. <br /> <br />Ernsthaft: Ja! <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_physics#Quantum_physics" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_physics#Quantum_physics</a> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wo ich gerade nochmal nachhaken will: sind nun divergente Reihen/Folgen nun mathematisch existierende Objekte? In jedem Mathebuch, was ich bis jetzt in der Hand hatte, war nicht die Rede davon, dass sie mathematisch nicht existieren 😅</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das musst du besser jemanden fragen, der sich mit der Philosophie der Mathematik befasst. <br /> <br /><span style="font-style: italic">Für mich</span> ist die o.g. geometrische Reihe zunächst nur auf ihrem Definitions- d.h. auf ihrem Konvergenzbereich sinnvoll. Offenbar kann man jedoch auch Objekten einen Sinn abgewinnen, die nicht konvergieren. Daher würde ich evtl. unterscheiden zwischen "<span style="font-style: italic">existent als Abbildung</span>", z.B. als Funktion von den komplexen auf die komplexen Zahlen, und "<span style="font-style: italic">existent als formales Objekt</span>", als Werkzeug. <br /> <br />Insofern existiert dann das Pfadintegral der QED als formales Objekt, denn man kann wiederum durch formale Methoden Dinge extrahieren, die als konkrete Funktionen zutreffende Werte liefern. Als Funktion, die eine Zahl liefert, ist es sinnlos.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 17:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also so gesehen ist dann das ganze noch in der Forschungsphase? <br /> <br />Wo ich gerade nochmal nachhaken will: sind nun divergente Reihen/Folgen nun mathematisch existierende Objekte? In jedem Mathebuch, was ich bis jetzt in der Hand hatte, war nicht die Rede davon, dass sie mathematisch nicht existieren 😅</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 14:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mir fällt noch ein einfacheres Beispiel ein: <br /> <br />Gegeben sei eine "Herleitung", die wir für eine Variable s > 1 durchführen und die <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T(s) = \sum_{k=0}^\infty s^k"> <br /> <br />liefert. Wiederum ist T divergent. <br /> <br />Nun interessieren wir uns aber für <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-1 < s < +1"> <br /> <br />und dafür ist T(s) definiert und liefert sinnvolle Näherungen. <br /> <br />Natürlich "sehen" wir, dass wir es "eigentlich" mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E(s) = \frac{1}{1 - s}"> <br /> <br />zu tun haben, wir also T(s) vergessen können. <br /> <br />Bei unseren Quantenfeldtheorien "sehen" wir dieses E aber leider nicht, vermuten jedoch, dass es da ist. <br /> <br /> <br />Siehe auch diese Methode: <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 14:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In welchem Sinne existiert 1/0? <br /> <br />T existiert in gewisser Weise als formaler Ausdruck, der zu einem nützlichen Werkzeug wird, wenn man die obere Grenze der Summation auf einen endlichen Wert setzt. <br /> <br />Die Frage ist, wo eine Reihe konvergiert und wo sie divergiert. Viele asymptotische Reihen haben einen Konvergenzradius von Null, im vorliegenden Fall existiert ausschließlich T(0) = 0. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das stimmt, wenn der Ausdruck gegen unendlich divergiert, ist er nicht besonders nützlich. Trotzdem würde ich eigentlich sagen, dass dieses mathematische Objekt existiert, oder was spricht prinzipiell dagegen? <br /> <br />Ich muss auch sagen, dass ich in der beschriebenen Problematik zur Quantenfeldtheorie nichts extrem widersprüchlichen sehe. Der Weg ist halt eher unkonventionell, wenn man das so sagen kann. Aber ich bin in dieser Hinsicht ja auch nur Laie <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 13:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Okay, jetzt ist es mit den Anmerkungen etwas verständlicher geworden, zumindest denke ich das. Oben gehört zwischen T(s) und der divergenten Folge noch ein Gleichheitszeichen, oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mal ganz kurz: warum existiert T als mathematisches Objekt nicht, wenn es divergiert? Es gibt doch zahlreiche divergente Reihen und Folgen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In welchem Sinne existiert 1/0? <br /> <br />T existiert in gewisser Weise als formaler Ausdruck, der zu einem nützlichen Werkzeug wird, wenn man die obere Grenze der Summation auf einen endlichen Wert setzt. <br /> <br />Die Frage ist, wo eine Reihe konvergiert und wo sie divergiert. Viele asymptotische Reihen haben einen Konvergenzradius von Null, im vorliegenden Fall existiert ausschließlich T(0) = 0. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Betrifft dieses Problem eigentlich nur die Quantenfeldtheorien oder auch die klassische Quantenmechanik?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Letztere hat das Problem nicht. <br /> <br />Evtl. ist auch in der QM das Pfadintegral letztlich noch etwas problematisch, aber man kann viele Modelle mittels Methoden der Funktionalanalysis mathematisch sauber definieren. In der QFT geht das m.W.n. ausschließlich in irrelevanten Spezialfällen (keine Wechselwirkung, eine Raumdimension …)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 11:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay, jetzt ist es mit den Anmerkungen etwas verständlicher geworden, zumindest denke ich das. Oben gehört zwischen T(s) und der divergenten Folge noch ein Gleichheitszeichen, oder? <br /> <br />Mal ganz kurz: warum existiert T als mathematisches Objekt nicht, wenn es divergiert? Es gibt doch zahlreiche divergente Reihen und Folgen. <br /> <br />Betrifft dieses Problem eigentlich nur die Quantenfeldtheorien oder auch die klassische Quantenmechanik?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 07:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielleicht ganz interessant: <br /> <br /><a href="https://www.phys.ufl.edu/~ramond/Chapter3_CUP.pdf" target="_blank">https://www.phys.ufl.edu/~ramond/Chapter3_CUP.pdf</a> <br /> <br />Im Übergang von (3.5) zu (3.6) steckt jahrelange Arbeit und ein Nobelpreis. <br /> <br />Trotzdem ist (3.6) mathematisch undefiniert, in der Folge auch alles mögliche andere – funktioniert aber trotzdem in der Praxis. <br /> <br />Im Detail sähe die "Konstruktion" von (3.6) so aus: <br /> <br /><a href="https://eduardo.physics.illinois.edu/phys582/582-chapter5-edited.pdf" target="_blank">https://eduardo.physics.illinois.edu/phys582/582-chapter5-edited.pdf</a> <br /> <br /> <br /><span style="font-style: italic">The path integral is an intuitive tool that often leads to correct results, but its rigorous foundation remains elusive, especially when dealing with infinite-dimensional spaces.</span> <br />(nach Sir Michael Atiyah)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 07:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die nicht erlaubte Umformung für das Beispiel aus Wikipedia soll nur zeigen, dass eine nicht erlaubte Umformung zunächst etwas sinnlos liefert, woraus witzigerweise ggf. wieder eine sinnvolle Näherung folgen kann. <br /> <br />Im Falle der QED kennen wir das E nicht, es geht also nicht um eine Umformung. Es geht um ein Rezept, das die Physiker <span style="font-weight: bold">Quantisierung</span> nennen, mittels dessen man aus einer klassischen Theorie wie der Elektrodynamik eine Quantenfeldtheorie wie die QED gewinnt. Leider stellt man fest, dass diese Theorie auf einem Objekt T * basiert, das analog zum Beispiel nicht definiert ist. Es geht also nicht um eine Umformung von einem bekannten E sondern direkt um die Konstruktion von E – wobei man aber leider nur bei T landet. <br /> <br />* es gibt verschiedene Quantisierungsmethoden; jede hat sozusagen "ihr" T, und jede leidet letztlich unter dem selben Problem, dass T mathematisch sinnlos ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 07:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">T(s) existiert also nicht, da es gegen unendlich divergiert? Und warum akzeptiert man eine mathematisch nicht erlaubte Umformung? <br /> <br />Aber eigentlich sollte doch die Beschränkung der Summe bis zum n-Glied kein Problem für die Physik darstellen, wenn brauchbare Ergebnisse heraus kommen. Wobei es vermutlich schöner wäre, wenn der Weg dorthin sauberer wäre.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 06:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jein. <br /> <br />Das ist noch nicht der Kern der Aussage. <br /> <br />Es ging darum: <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Für Theorien wie die QED kann man m.W.n. nicht mal beweisen, dass sie überhaupt mathematisch existieren bzw. konsistent formuliert werden können.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie kann eine Theorie mathematisch nicht existieren, wenn ich damit etwas sinnvoll überprüfbares berechnen kann?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nochmal zurück zum Beispiel der asymptotischen Reihe aus Wikipedia <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e^{-\frac {1}{s}} \text{Ei} \left(\frac {1}{s}\right) {\color{red} = \sum_{k=0}^\infty k! \, s^{k+1}}"> <br /> <br />Die linke Seite E, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E(s) = e^{-\frac {1}{s}} \text{Ei} \left(\frac {1}{s}\right)"> <br /> <br />ist eine präzise definierte mathematische Funktion. <br /> <br />Die rechte Seite <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\color{red} T(s) = \sum_{k=0}^\infty k! \, s^{k+1}}"> <br /> <br />gewinnt man mittels einer Rechnung, die eine nicht erlaubte Umformung enthält. Die Reihe ist für alle s ≠ 0 divergent, das mathematische Objekt T existiert nicht (außer für s = 0). <br /> <br />Allerdings existiert das, was ich oben t_n genannt habe, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t_n(s) = \sum_{k=0}^n k! \, s^{k+1}"> <br /> <br />Schränkt man die Summation des undefinierten Objektes T auf eine endliche Obergrenze n ein, so liefert die nun wohldefinierte Summe für einen gewissen Bereich von s tatsächlich eine sinnvolle Näherung für E, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E(s) \simeq t_n(s)"> <br /> <br />Zusammenfassung: man gewinnt aus dem wohldefinierten E ein sinnlos T, daraus jedoch sinnvolle Näherungen t_n für E. <br /> <br />Soweit klar? <br /> <br /> <br />Nun zu den Theorien: das wäre z.B. die Entsprechung <br /> <br /><span style="font-weight: bold">E</span> = mathematisch korrekte Definition; kennen wir nicht <br /> <br /><span style="font-weight: bold"><span style="color: red">T</span></span> = Pfadintegral der QED; mathematisch nicht definiert; hilft aber, um t_n zu erzeugen <br /> <br /><span style="font-weight: bold">t_n</span> = sogenannte Störungsreihe n-ter Ordnung; liefert tatsächlich hervorragende Übereinstimmung mit dem Experiment <br /> <br />Der Unterschied zu oben ist, dass wir E nicht kennen, nur das an sich undefinierte T, daraus jedoch sinnvolle Ergebnisse ableiten können, und deswegen glauben, dass es irgendein E geben muss, das mathematisch sinnvoll ist; das wäre dann die eigentliche Theorie. <br /> <br />Für die QED hält man dies aus gewissen Gründen für wenig sinnvoll; für die QCD gibt es Indizien, aufgrund derer man glaubt, dass E tatsächlich existieren könnte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 06:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So, ich habe es mir nochmal angesehen. <br /> <br />Das widersprüchliche Element ist also, dass bei großen n die Funktionskurven überhaupt nicht mehr übereinstimmen? Und funktionieren tut die Theorie nur, weil sich bei genügend kleinen n die Funktionsverläufe annähernd decken?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 22:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, das habe ich noch nicht ganz verstanden. Werde es mir morgen früh nochmal anschauen <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 20:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, in beiden Fällen wird eingebaut, dass der Algorithmus terminiert. <br /> <br />Hast du das Beispiel mit den asymptotischen Reihen verstanden?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 20:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Weil ihre Ergebnisse reelle Zahlen sind, eine Turing-Maschine in endlich vielen Schritten jedoch nur endlich viele Ziffern liefern kann. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ahhh, alles klar. Deshalb bricht dann auch ein entsprechender Algorithmus nach dem N Glied die Brechnung ab? <br /> <br />Ich habe das ganze wahrscheinlich zu banal betrachtet. Zur Berechenbarkeit gehört ja auch, dass der Algorithmus, wie du schon geschrieben hast, in einer endlichen Zeit zum Ergebnis kommt. <br />Wenn ich mit reellen Zahlen rechne, funktioniert das ganze ja nur, da ich nach einem bestimmten Glied abbreche, wenn die Genauigkeit ausreicht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nun könntest du natürlich einwenden, dass man ja nicht direkt an der Zahl sondern an der Formel interessiert ist; aber auch dafür gibt es oft keine geschlossene Lösung sondern z.B. Entwicklungen nach unendlichen Reihen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Auch hier brechen die Algorithmen wieder nach einem gewissen Glied ab, oder? <br /> <br />Wirklich nochmal Danke für die Hilfe hier <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>derspammerdesherrn</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 20:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Warum so kompliziert? <br />So etwas wie unendlich gibt es in der Natur sicher nicht, in der Mathematik rechnet man fröhlich damit herum.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 20:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Oh, das verstehe ich tatsächlich nicht. Ich dachte, wenn ich die entsprechenden Gleichungen der physikalischen Theorien sind Turing-berechenbar? Zb in der Mechanik usw. Warum sind sie es nicht?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Weil ihre Ergebnisse reelle Zahlen sind, eine Turing-Maschine in endlich vielen Schritten jedoch nur endlich viele Ziffern liefern kann. <br /> <br />Nun könntest du natürlich einwenden, dass man ja nicht direkt an der Zahl sondern an der Formel interessiert ist; aber auch dafür gibt es oft keine geschlossene Lösung sondern z.B. Entwicklungen nach unendlichen Reihen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 20:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Oh, das verstehe ich tatsächlich nicht. Ich dachte, wenn ich die entsprechenden Gleichungen der physikalischen Theorien sind Turing-berechenbar? Zb in der Mechanik usw. Warum sind sie es nicht?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 19:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich würde es schon als relevant erachten. Wenn die Berechenbarkeit nicht gegeben ist, kann man dann überhaupt aus einer Theorie überprüfbare Ergebnisse erhalten? Oder verstehe ich etwas nicht richtig?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus. <br /> <br />Aber wenn ein Algorithmus nach endlicher Zeit einen Näherungswert ausspuckt, der deutlich unter der Messungenauigkeit liegt, ist für den Physiker bzgl. der kritischen Überprüfung alles ok. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Denkst du hier in die Richtung "Unvollständigkeitssatz" von Gödel? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, in diese Richtung. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Oh, so etwas hätte ich jetzt nicht erwartet. Wie kann eine Theorie mathematisch nicht existieren, wenn ich damit etwas sinnvoll überprüfbares berechnen kann?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nun, die bekannte "Theorie" T kann eine gewissermaßen unzulässige Umformulierung von einem unbekannten Etwas E darstellen, wobei E mathematisch wohldefiniert ist, die Theorie T selbst nicht, man jedoch aus T "formale Näherung" t_0, t_1 … gewinnen kann, die in gewissen Grenzen tatsächlich zutreffende Näherungen für E darstellen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E \to {\color{red} T} \to t_{n < N} "> <br /> <br />Für n < N folgen aus dem mathematisch an sich sinnlosen T brauchbare Näherung t_n für E. Für n > N werden die Näherung schlechter, und der Grenzübergang ist sinnlos, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lim_{n\to\infty} t_n = {\color{red} T} \neq E"> <br /> <br />Das ist wohl der Fall für die Störungsreihe einer QFT. <br /> <br />Hier <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_expansion" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_expansion</a> <br /> <br />findest du Beispiele, wobei man das E kennt, daraus ein ungültiges T gewinnt, und daraus wiederum gültige t_n. Dass dies so ist, kann man natürlich nur wissen, weil man E kennt. In der Physik ist E keine exakt bekannte Theorie, sondern eine Menge an Experimenten, die die t_n bestätigen. <br /> <br /> <br />Dass jedoch bestimmte QFTs mathematisch rigoros konstruiert werden können, ziehen sogar die Mathematiker in Betracht: <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap</a> <br /> <br />Das interessante ist, dass die QCD in diese Klasse von Theorien fällt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 17:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Letzteres – also die Berechenbarkeit – muss erst mal präzise definiert werden. Turing-Berechenbarkeit: Eine für alle natürlich Zahlen n definierte Funktion f(n), die natürliche Zahlen auf natürliche Zahlen abbildet, heißt Turing-berechenbar, wenn eine Turing-Maschine bzw. ein Algorithmus existiert, der für jede natürliche Zahl n in endlich vielen Schritten den Funktionswert f(n) ausgibt. Das gilt sicher nicht für diverse Probleme der Physik, aber es ist m.E. praktisch ziemlich irrelevant.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich würde es schon als relevant erachten. Wenn die Berechenbarkeit nicht gegeben ist, kann man dann überhaupt aus einer Theorie überprüfbare Ergebnisse erhalten? Oder verstehe ich etwas nicht richtig? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich könnte mir aber etwas anderes vorstellen, was sehr unerwünscht wäre, nämlich wenn in einer physikalischen Theorie wichtige Aussagen möglich wären, die weder mathematisch beweisbar noch widerlegbar wären. Nehmen wir an, wir hätten eine elegante Theorie gefunden, die Gravitation und Quantenphysik harmonisiert, aus der in diversen Spezialfällen etablierte Theorien folgen, die Probleme wie das Messproblem der QM löst, Effekte wie DM und DE einfach erklärt etc. Eine einfache Frage wäre: "entwickeln sich unter vernünftigen Annahmen Singularitäten?" Die Antwort, "es ist beweisbar, dass beide Antworten 'ja' und 'nein' unbeweisbar sind", wäre natürlich unschön.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Denkst du hier in die Richtung "Unvollständigkeitssatz" von Gödel? Ich würde mich allerdings schon fragen, wie solch eine Theorie aussehen sollte... <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Aber soweit sind wir noch lange nicht. Für Theorien wie die QED kann man m.W.n. nicht mal beweisen, dass sie überhaupt mathematisch existieren bzw. konsistent formuliert werden können.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Oh, so etwas hätte ich jetzt nicht erwartet. Wie kann eine Theorie mathematisch nicht existieren, wenn ich damit etwas sinnvoll überprüfbares berechnen kann?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 16:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe den Beitrag diesbezüglich ergänzt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 16:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die Antwort. <br /> <br />Das die Hypothese der mathematischen Beschreibbarkeit für die physikalisch interessanten Phänomene gelten sollte, nehme ich auch definitiv an. <br /> <br />Zum zweiten, der Berechenbarkeit: sind eigentlich Phänomene bekannt, die sich prinzipiell womöglich mathematisch beschreiben lassen würden, aber nicht berechenbar sind? Eigentlich sollte dies doch in der Physik nicht vorkommen, da ohne Berechnung kein Überprüfung stattfinden kann? <br /> <br />Oder inwieweit muss die Berechenbarkeit nicht gegeben sein?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 15:51<span class="gen"> </span> Titel: Re: Berechenbarkeit Physik</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DeltX hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Meine daraus resultierende Frage ist nun: ist alles, eigentlich alles, was wir in der Natur beobachten, mathematisch <span style="font-weight: bold">beschreibbar</span> und vor allem auch <span style="font-weight: bold">berechenbar</span>?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Beides wissen wir nicht. <br /> <br />Aber um Physik betreiben zu können, müssen wir die Hypothese aufstellen, dass zumindest <span style="font-weight: bold">ersteres</span> für die uns interessierenden Phänomene tatsächlich der Fall ist. <br /> <br />Numerische Methoden stellen kein wirklich sinnvolles Gegenbeispiel dar. Wir wollen ja nicht unbedingt etwas exakt berechnen, lediglich hinreichend genau (bereits die Zahl Pi entzieht sich einer exakten Berechnung; wir ignorieren das aber und schreiben einfach Pi). <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Letzteres</span> – also die Berechenbarkeit – muss erst mal präzise definiert werden. Turing-Berechenbarkeit: Eine für alle natürlich Zahlen n definierte Funktion f(n), die natürliche Zahlen auf natürliche Zahlen abbildet, heißt Turing-berechenbar, wenn eine Turing-Maschine bzw. ein Algorithmus existiert, der für jede natürliche Zahl n in endlich vielen Schritten den Funktionswert f(n) ausgibt. Das gilt sicher nicht für diverse Probleme der Physik, aber es ist m.E. praktisch ziemlich irrelevant. <br /> <br />Ich könnte mir aber etwas anderes vorstellen, was sehr unerwünscht wäre, nämlich wenn in einer physikalischen Theorie wichtige Aussagen möglich wären, die weder mathematisch beweisbar noch widerlegbar wären. Nehmen wir an, wir hätten eine elegante Theorie gefunden, die Gravitation und Quantenphysik harmonisiert, aus der in diversen Spezialfällen etablierte Theorien folgen, die Probleme wie das Messproblem der QM löst, Effekte wie DM und DE einfach erklärt etc. Eine einfache Frage wäre: "entwickeln sich unter vernünftigen Annahmen Singularitäten?" Die Antwort, "es ist beweisbar, dass beide Antworten 'ja' und 'nein' unbeweisbar sind", wäre natürlich unschön. <br /> <br />Aber soweit sind wir noch lange nicht. Für Theorien wie die QED kann man m.W.n. nicht mal beweisen, dass sie überhaupt mathematisch existieren bzw. konsistent formuliert werden können.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DeltX</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 13:03<span class="gen"> </span> Titel: Berechenbarkeit Physik</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Moin moin, <br />ich habe eine etwas ungewöhnliche Frage. Und zwar ist ja die Mathematik die Sprache der Physik, was an sich ja wunderbar ist, da es so zu einer präzisen Naturbeschreibung kommt. Meine daraus resultierende Frage ist nun: ist alles, eigentlich alles, was wir in der Natur beobachten, mathematisch beschreibbar und vor allem auch berechenbar?<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich würde jetzt fast sagen, dass der erste Teil der Frage nicht wirklich beantwortet werden kann (ob alles mathem. beschreibbar ist), da man dazu ja wirklich alles der Natur kennen muss. Und dem können wir uns ja niemals vollständig sicher sein.<br /><br />Aber was vielleicht eher beantwortet werden kann, ob man alle bestehenden physikalischen Modelle vollständig berechnen kann. Meine eigene Vermutung ist, teilweise ja,aber präzise nein.<br />Als Beispiel fallen mir Differentialgleichungen ein, die sich nur numerisch lösen lassen. Hier sind durch numerische Verfahren definitiv approximative Lösungen vorhanden, allerdings keine exakten Lösungen. <br /><br />Wie sehen das die Physiker hier?<br />Vielen Dank für die Antworten!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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