Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Sonstiges
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="TomS"]Bis auf das "Vektorfeld E" mathematisch allgemeingültig, ja.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2024 14:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich glaube, bei den Eichtheorien waren wir auf einem ganz guten Weg, die Faserbündel sollten wir eventuell erst mal parken.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich wollte zu Motivationszwecken nur erwähnt haben, dass es bei den "alten" Yang-Mills-Theorien eine übergeordnete mathematische Struktur gibt. Ein Teil dieser Struktur ist ein Hauptfaserbündel. Daraus folgt dann, dass bei diesen Theorien (ohne Supersymmetrie) als verbleibender Freiheitsgrad praktisch nur noch die Wahl der Gruppe bleibt, weil die physikalischen Felder im Prinzip immer wieder gleich aussehen und mit einer "wiederverwendbaren" mathematischen Struktur beschreibbar sind. <br /> <br />Komplizierter wird es, wenn man die Supersymmetrie hinzunimmt, weil es dann auch viel bei den physikalischen Feldern zu erklären gibt. Das können wir hier gerne erstmal ausblenden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 19:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich glaube, bei den Eichtheorien waren wir auf einem ganz guten Weg, die Faserbündel sollten wir eventuell erst mal parken.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 14:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, danke an euch beide. Ich muss den Thread nochmal ganz genau von Anfang an lesen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 14:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Je Minkowskiraumzeitpunkt existieren Fasern für jede Gruppe?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Gruppe ist die Faser. In anderen Fällen ist die Faser ein Vektorraum. Dann spricht man von einem Vektorbündel. Man könnte die Prinzipalfaserbündel auch Gruppenbündel nennen, was allerdings ungebräuchlich ist. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Alle Raumzeitpunkte sind dann die Prinzipalfaserbündel (je Gruppe ein Bündel)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der Basisraum (alle Raumzeitpunkte) ist (neben einigen aktuell unwichtigen weiteren Eigenschaften) Teil oder Grundlage des Prinzipalfaserbündels. Zusätzlich ist an jedem Punkt des Basisraumes anschaulich gesprochen eine Faser (Gruppe) "angeheftet". Deshalb heißt das Ganze dann Faser<span style="font-style: italic">bündel</span>.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 14:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Siehe oben: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Der Zusammenhang zwischen der Mathematik der Faserbündel und der Physik der Eichtheorien wird in dem Buch <span style="font-weight: bold">Geometry, Topology and Physics</span> von Nakahara gut dargestellt. <br /> <br />Anbei ein kurzes Glossar: <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Basisraum</span>: Raumzeit-Mannigfaltigkeit <br /><span style="font-weight: bold">Faser</span>: Interner Symmetrie-Raum <br /><span style="font-weight: bold">Faserbündel</span>: Kombination aus Raumzeit und Symmetrie-Raum <br /><span style="font-weight: bold">Hauptfaserbündel</span> oder <span style="font-weight: bold">G-Bündel</span>: Faserbündel, in dem die Faser der Eichgruppe G selbst entspricht <br /><span style="font-weight: bold">Assoziiertes Bündel</span>: Faserbündel, in dem die Faser nicht G sondern eine Darstellung von G entspricht, z.B. für Materiefelder, die unter G transformieren <br /><span style="font-weight: bold">Schnitt</span>: Eichbedingung bzw. -fixierung im Hauptfaserbündel; legt die Felder in den assoziierten Bündeln fest <br />Spezieller <span style="font-weight: bold">Diffeomorphismus</span> auf dem Faserbündel: Eichtransformation <br /><span style="font-weight: bold">Zusammenhang</span>: kovariante Ableitung zwischen benachbarten Punkten im Bündel, definiert mittels des Eichfeldes, z.B. Photon- oder Gluon-Feld <br /><span style="font-weight: bold">Krümmung</span>: Krümmung im Faserbündel *, Feldstärketensor z.B. des elektromagnetischen oder des Gluon-Feldes <br /><span style="font-weight: bold">Symmetriegruppe</span> G auf den Fasern: Eichgruppe der Theorie, z.B. U(1), SU(N) <br /> <br />* bei üblicherweise flacher Raumzeit <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Folgendes ist zum Verständnis essenziell</span>: Der Physiker denkt <span style="font-weight: bold">bottom-up</span> und betrachtet Felder immer als lokal definierte Funktionen, die für einen Punkt p einer Mannigfaltigkeit M gewisse Werte liefern; d.h. er denkt sich die Felder als über der Raumzeit definiert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi : \, p \in M \to \psi(p)"> <br /> <br />Die Mathematik der Faserbündel geht exakt andersherum vor, nämlich <span style="font-weight: bold">top-down</span>: fundamental ist eine topologische Mannigfaltigkeit E aus der man durch geeignete Abbildungen die Mannigfaltigkeit der Raumzeit M oder Felder auf der Raumzeit gewinnt, letztere durch einen speziellen Schnitt s durch das Bündel: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pi : \, E \to M"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s : \forall p \in U \subseteq M : s(p) = \pi^{-1}(p)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi(p) = s(p)"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Zu <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Jede Yang-Mills-Theorie hat die mathematische Struktur eines Prinzipalfaserbündels. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Mehr als das. <br /> <br />Im Prinzipalfaserbündel entspricht die Faser der Gruppe G. In den assoziierten Bündeln entspricht die Faser dem Raum, in dem die Felder leben, auf denen die Gruppe wirkt. <br /> <br />QCD: lokale Eichgruppe G = SU(3); im Prinzipalfaserbündel ist dann F ~ G = SU(3) je Punkt P: in den assoziierten Bündeln entspricht dern Faser F dem Raum der Gluon-Feldstärken oder der Quarkfelder je Punkt P. Wir reden also nicht von einem Faserbündel sondern von mehreren. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ist das dann eine geometrische Sicht einer Abbildung/Projektion aus der Minkowskiraumzeit (Basisraum/Produktraum) auf den Totalraum, in Abhängigkeit der jeweiligen Eichung bzw. Gruppe?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Aus dem Totalraum kann man entweder auf eine Faser F(P) über einem Punkt P der Raumzeit M abbilden, oder man kann die Gesamtheit aller Fasern F(P) auf den Basisraum = die Raumzeit = die Gesamtheit aller Punkte P projizieren. <br /> <br />Lokal sieht der Schnitt durch den Totalraum des assoziierten Bündels der Quarkfelder \psi unter Verwendung der Koordinaten x(P) für Raumzeitpunkte P aus wie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x^\mu \in M, \psi(x) \in F)"> <br /> <br /><a href="https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/FiberBundle_700.svg" target="_blank">https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/FiberBundle_700.svg</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 14:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ist das dann eine geometrische Sicht einer Abbildung/Projektion aus der Minkowskiraumzeit (Basisraum/Produktraum) auf den Totalraum, in Abhängigkeit der jeweiligen Eichung bzw. Gruppe? <br /> <br />Je Minkowskiraumzeitpunkt existieren Fasern für jede Gruppe? Alle Raumzeitpunkte sind dann die Prinzipalfaserbündel (je Gruppe ein Bündel)?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 13:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also ist die Darstellungstheorie das eigentliche Werkzeug, mit dem in der Physik gearbeitet wird?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die in der Physik verwendeten Matrizen sind üblicherweise Gruppendarstellungen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also sind die Prinzipalfaserbündel in den Eichtheorien äquivalent zu den jeweiligen Gruppen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Jede Yang-Mills-Theorie hat die mathematische Struktur eines Prinzipalfaserbündels. Diese Theorien sind so definiert. Der Basisraum ist üblicherweise der <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^4">, kann aber prinzipiell auch eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit sein. D.h. man hat an jedem Punkt der Minkowskiraumzeit als Faser eine bestimmte Gruppe. Bei einer speziellen Eichung der Theorie wird dann an jedem Punkt der Raumzeit genau ein Element der Gruppe ausgewählt. Die Mathematiker nennen diese Auswahl einen Schnitt im Bündel. <br /> <br />Das besondere an diesen Bündeln ist, dass man die Elemente jeder Faser zusätzlich zueinander in Beziehung setzen kann, analog der infinitesimalen Parallelverschiebung von Vektoren oder Tensoren in der riemannschen Geometrie oder entsprechend der allgemeinen Relativitätstheorie. <br /> <br />Vereinfacht kann man es sich so vorstellen, dass bei den Bündeln anstelle des metrischen Tensors eine bestimmte mathematische Gruppe verwendet wird.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 12:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich denke für einen guten Überblick sollte jetzt ein Hinweis kommen, dass man bei der theoretischen Beschäftigung mit Gruppen die beiden Begriffe Darstellungstheorie <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie</a> kennen sollte. In der Gruppentheorie werden eher die algebraischen und formalen Eigenschaften von Gruppen untersucht. Bei der Darstellungstheorie geht es um die Darstellung von Gruppen mit Hilfe von linearen Abbildungen, z.B die in der theoretischen Physik sehr häufig verwendeten Matrizen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also ist die Darstellungstheorie das eigentliche Werkzeug, mit dem in der Physik gearbeitet wird? (z.B. so wie <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix" target="_blank" class="postlink">hier</a>) <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In den Eichtheorien (Yang-Mills-Theorien) werden praktisch ausschließlich Prinzipalfaserbündel betrachtet. Dort ist die Faser also eine bestimmte Gruppe, wie die U(1), SU(3), SU(2), <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(1)\otimes SU(2)">, SU(5), SO(10) usw.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also sind die Prinzipalfaserbündel in den Eichtheorien äquivalent zu den jeweiligen Gruppen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Dez 2024 02:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich denke für einen guten Überblick sollte jetzt ein Hinweis kommen, dass man bei der theoretischen Beschäftigung mit Gruppen die beiden Begriffe Darstellungstheorie <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie</a> kennen sollte. In der Gruppentheorie werden eher die algebraischen und formalen Eigenschaften von Gruppen untersucht. Bei der Darstellungstheorie geht es um die Darstellung von Gruppen mit Hilfe von linearen Abbildungen, z.B die in der theoretischen Physik sehr häufig verwendeten Matrizen. <br /> <br />Faserbündel verallgemeinern den in der Physik zentralen Begriff des Feldes und setzen an die Stelle eines bestimmten reellen oder komplexen Wertes an einer bestimmten Stelle des Basisraumes die Faser. In den Eichtheorien (Yang-Mills-Theorien) werden praktisch ausschließlich Prinzipalfaserbündel betrachtet. Dort ist die Faser also eine bestimmte Gruppe, wie die U(1), SU(3), SU(2), <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(1)\otimes SU(2)">, SU(5), SO(10) usw.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 14:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 14:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ok. <br /> <br />Und wenn das ein Missverständnis war, dann tut es mir leid.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Selbst wenn, muss es das nicht. Alles gut! <br />Ich will nur keinen nerven und darum versuche ich halt auch auf eigener Faust antworten zu finden, um nicht wegen jedem zweiten Satz Fragen stellen zu müssen. Es wäre doch auch sehr ungewöhnlich, wenn ich als Laie gleich alles verstehen würde. Aus meiner Erfahrung heraus ist es auch ganz und gar nicht schlimm erst falsch zu verstehen, damit dann ganz klar wird, wie es richtig ist. Am besten lernt man aus den eigenen Fehlern.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 14:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ist überhaupt nicht das Problem.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Antaris Lernweise erinnert mich an den bekannten Überflieger und in gewisser Weise auch an Suchmaschinen im web. Zuerst einen möglichst guten Überblick mit ordentlich Information verschaffen und dann schauen, was man damit so anfangen kann. Das www begünstigt diese leicht anzuwendende Strategie, die allerdings nicht immer die Schnellste ist.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja das trifft es ganz gut. Leider ist das dann auch oftmals ein durchwühlen verschiedener Themen und hat keine wirkliche Struktur aber das war m.E. schon schlimmer. Ich muss hier ja auch nicht der schnellste beim lernen sein. Es geht ja in dem Sinne, da kein Wettbewerb und ich auch nicht morgen irgendwas prüfen lassen muss.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 12:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok. <br /> <br />Und wenn das ein Missverständnis war, dann tut es mir leid.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 09:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Warum du unsere Links oft ignorierst (jedenfalls kam zu denen nie eine Rückfrage) und dir dann selbst andere suchst, verstehe ich nicht. Man merkt dir an, dass du die Themen nicht vollumfänglich durchdringst (das ist absolut nachvollziehbar), aber zudem verzettelst du dich noch mit anderen Themen und Darstellungen; SO(3,1), Komplexifizierung, Minkowski-Raum ... hatte ich z.B. bewusst hier rausgehalten.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist dein Eindruck? Ich habe doch gar nicht nach "SO(3,1), Komplexifizierung, Minkowski-Raum" oder ähnliches nachgefragt (zumindest nicht bewusst). Speziell das mit der Translation war doch eine Rückfrage aus den von Telefonmann geteilten link. Vielleicht hätte ich anders nachfragen sollen (warum sind 3 Drehmatrizen dort für Translation?). <br />Da war auch an keiner Stelle eine Kritik an euch, zumindest sollte das nicht so rüberkommen. <br /> <br />Bezüglich den geteilten Links zu Wiki usw. lese ich diese, klar. Aber ja, wenn ich dann einzelne Begriffe suche, dann doch oft auf deutsch (einfach weil es sprachlich verständlicher ist). <br />Ansonsten z.B. die Lecture Notes, wo ich doch geschrieben habe, dass ich da erstmal lesen muss. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Lecture Notes sind m.E. sehr gut: <br /><a href="https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html" target="_blank">https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html</a></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Danke. Ich lese da erstmal.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nur ist das in so einer großen Zusammenstellung ja auch nicht einfach einzelne Begrifflichkeiten zu verstehen. Zudem brauch ich zum lesen ausführlicher arbeiten natürlich auch die Zeit dafür. <br /> <br />Was die Drehmatrizen selbst angeht, wollte ich einfach erstmal verstehen wie von den einfachsten (anschaulichen) Prozessen darauf geschlossen wird. Ein einfaches Beispiel der SO(2) wäre dann doch z.B. die Rotation eines Motorläufers um seine Drehachse oder nicht? Wenn die Eigenschaften der SO(2) identifiziert sind und diese auf die SO(n) übertragen werden kann (man das aus der SO(2) ansieht, wie das für die SO(n) ist), ist für mich dann auch nachvollziehbar. <br /> <br />Ich werde nun nur noch auf die von euch geteilten links eingehen bzw. davon ausgehend explizit nachfragen und nicht selbst nach antworten suchen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 09:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ist überhaupt nicht das Problem.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Antaris Lernweise erinnert mich an den bekannten Überflieger und in gewisser Weise auch an Suchmaschinen im web. Zuerst einen möglichst guten Überblick mit ordentlich Information verschaffen und dann schauen, was man damit so anfangen kann. Das www begünstigt diese leicht anzuwendende Strategie, die allerdings nicht immer die Schnellste ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 08:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das ist überhaupt nicht das Problem. <br /> <br />Wir stellen hier ab und zu mal einen Link ein, zumeist auf die englische Wikipedia. Dann haben wir (zumindest ich) grob drübergeschaut, ob die Darstellung ok ist. Natürlich machen andere Fehler, und wir auch, aber wir weisen uns gegenseitig auf Fehler oder Missverständnisse in unseren Darstellung hin. <br /> <br />Warum du unsere Links oft ignorierst (jedenfalls kam zu denen nie eine Rückfrage) und dir dann selbst andere suchst, verstehe ich nicht. Man merkt dir an, dass du die Themen nicht vollumfänglich durchdringst (das ist absolut nachvollziehbar), aber zudem verzettelst du dich noch mit anderen Themen und Darstellungen; SO(3,1), Komplexifizierung, Minkowski-Raum ... hatte ich z.B. bewusst hier rausgehalten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 07:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><span style="font-weight: bold">Du hast echt ein Talent, alle möglichen Quellen anzuzapfen und sogar aus den an sich vernünftigen die falschen Aussagen rauszupicken. </span></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Na ja, hat doch auch was so die falschen Aussagen, aus den an sich vernünftigen, zu separieren. <br />Die Thematik ist für dich natürlich easy. Ich brauche halt ein wenig länger die Zusammenhänge nachzuvollziehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 06:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Orthogonalität ist eine Eigenschaft der darstellenden Matrizen der Gruppe: <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix</a></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Auch dazu hatte ich oben schon einen Halbsatz geschrieben. <br /> <br />Wichtiger erscheint mir die Aussage, dass eine SO(n) d.h. eine Rotation R beliebiger Einheitsvektoren e <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_n \to R \, e_n"> <br /> <br />deren Zwischenwinkel alpha nicht ändert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_m \, e_n = \cos\alpha_{mn} \to e_m^\prime \, e_n^\prime = \cos\alpha^\prime_{mn} = \cos\alpha_{mn}"> <br /> <br />Die letzte Gleichung gilt wegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_m^\prime \, e_n^\prime = (e_m \, R^t) \, (R \, e_n) = e_m \, (R^t \, R) \, e_n = e_m \, e_n "> <br /> <br />d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R^t \, R = R \, R^t = 1 "> <br /> <br />also letztlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R^t = R^{-1} "> <br /> <br />Speziell bleiben zwei zueinander orthogonale Vektoren unter Rotation orthogonal. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Geometrisch</span> ist die Eigenschaft, dass die gemeinsame Rotation verschiedener Vektoren deren Zwischenwinkel nicht ändert, natürlich trivial. Die SO(n) liefert dazu allerdings <span style="font-weight: bold">konkrete algebraische Objekte</span>, die dies sicherstellen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 06:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In dem Thread steht korrekterweise auch <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… there are six generators of group SO(4) which can be complexified to SO(4,C) and can be defined as linear combinations L±a of <span style="font-weight: bold">rotations</span> and <span style="font-weight: bold">boosts</span>. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Man erhält aus der Komplexifizierung eine Verbindung zwischen der SO(4) im 4-dim. euklidischen Raum mit sechs Rotationen und der SO(3,1) im 4-dim. Minkowski-Raum mit drei Rotationen und drei Boosts. <span style="font-weight: bold">Und das vergessen wir jetzt bitte mal, solange wir noch an den Basics hängen.</span> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Du hast echt ein Talent, alle möglichen Quellen anzuzapfen und sogar aus den an sich vernünftigen die falschen Aussagen rauszupicken. </span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Dez 2024 00:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was dann so nicht stimmt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Scheint so: <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Gruppe" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Gruppe</a> <br />Eine Translation ist eine Vektoraddition und damit nicht als Matrixmultiplikation darstellbar. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ist mit der Orthogonalität gemeint, dass die eine Drehachse bei SO(2) orthogonal auf den radiaalsymmetrischen Ursprung liegt (auf den Drehpunkt steht)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Orthogonalität ist eine Eigenschaft der darstellenden Matrizen der Gruppe: <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Dez 2024 22:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Da liegt noch ein Mißverständnis vor. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das stand so in dem von dir geteilten link.ß <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">The six generators are translations along the x, y, and z axes, and rotations around the x, y, and z axes. These six transformations can be combined to describe any possible movement or transformation in four-dimensional space.</td> </tr></table><span class="postbody"><a href="https://www.physicsforums.com/threads/what-are-the-matrix-forms-of-the-six-generators-of-group-so-4.456799/" target="_blank" class="postlink">https://www.physicsforums.com/threads/what-are-the-matrix-forms-of-the-six-generators-of-group-so-4.456799/</a> <br /> <br />Was dann so nicht stimmt? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Damit wird dann auch anschaulich klar, warum eine Gruppe SO(k) immer eine Untergruppe der SO(n) ist, solange <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \leq k"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k < n">. Die SO(2) ist in der SO(3) enthalten.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ist mit der Orthogonalität gemeint, dass die eine Drehachse bei SO(2) orthogonal auf den radiaalsymmetrischen Ursprung liegt (auf den Drehpunkt steht)?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Dez 2024 22:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also lassen sich mit der SO(3) nur Drehungen im R^3 und mit der SO(4) zusätzlich Translationen im R^4 beschreiben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Da liegt noch ein Mißverständnis vor. Man kann den Vorgang einer Drehung von 2 und 3 Dimensionen auf n Dimensionen verallgemeinern. Eine Drehung des vierdimensionalen Raumes ist ein Element der SO(4) und umgekehrt. <br /> <br />Damit wird dann auch anschaulich klar, warum eine Gruppe SO(k) immer eine Untergruppe der SO(n) ist, solange <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \leq k"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k < n">. Die SO(2) ist in der SO(3) enthalten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Dez 2024 21:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also lassen sich mit der SO(3) nur Drehungen im R^3 und mit der SO(4) zusätzlich Translationen im R^4 beschreiben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ersteres ja, auch das hatte ich geschrieben. Letzteres nein, die SO(n) beschreibt ausschließlich Rotationen im n-dim. Raum (Translationen werden durch die Galilei- bzw. Poincaré-Gruppe beschrieben, wobei diese auch die Rotationen enthalten). <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Man betrachtet die Eigenschaften der Rotationen. Anhand der SO(2) und der Taylorentwicklung zeigt sich, dass die Generatoren antisymmetrisch sein müssen. Im Falle der SO(2) liefert das genau einen Generator. Bei der SO(n) geht es um alle Paare von Indexpaaren (ik), (ki), wobei i ungleich k ist. <br />...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ein einfaches Beispiel für die Eigenschaften der Rotation wäre bei SO(2), da die Rotation nur in einer Ebene im R^2 stattfindet. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Man erkennt an dem einen Generator der SO(2) sofort, wie diejenigen der SO(n) aussehen müssen. <br /> <br />Hier explizit für SO(3): <br /><a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group" target="_blank">https://en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group</a> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wurde die Lie-Gruppen auf diesen Weg hergeleitet? Was wurde zuerst entdeckt? Erst die Symmetriegruppen und daraus die Lie-Gruppen oder andersherum?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das müsste ich nachschauen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Dez 2024 20:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also lassen sich mit der SO(3) nur Drehungen im R^3 und mit der SO(4) zusätzlich Translationen im R^4 beschreiben? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Man betrachtet die Eigenschaften der Rotationen. Anhand der SO(2) und der Taylorentwicklung zeigt sich, dass die Generatoren antisymmetrisch sein müssen. Im Falle der SO(2) liefert das genau einen Generator. Bei der SO(n) geht es um alle Paare von Indexpaaren (ik), (ki), wobei i ungleich k ist. <br />...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ein einfaches Beispiel für die Eigenschaften der Rotation wäre bei SO(2), da die Rotation nur in einer Ebene im R^2 stattfindet. <br /> <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/drehmatrix#Ebene_%E2%84%9D%C2%B2" target="_blank" class="postlink">https://de.wikipedia.org/wiki/drehmatrix#Ebene_%E2%84%9D%C2%B2</a> <br /> <br />bzw. im R^3 <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Raum_%E2%84%9D%C2%B3" target="_blank" class="postlink">https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Raum_%E2%84%9D%C2%B3</a> <br /> <br /> <br />Die hier als erzeugende benannten J's sind die Generatoren der T's? <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Infinitesimale_Drehungen" target="_blank" class="postlink">https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Infinitesimale_Drehungen</a> <br /> <br />Wurde die Lie-Gruppen auf diesen Weg hergeleitet? Was wurde zuerst entdeckt? Erst die Symmetriegruppen und daraus die Lie-Gruppen oder andersherum?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Dez 2024 07:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Generatoren der Lie-Gruppen SO(n) werden auch hier <a href="https://www.physicsforums.com/threads/what-are-the-matrix-forms-of-the-six-generators-of-group-so-4.456799/" target="_blank">https://www.physicsforums.com/threads/what-are-the-matrix-forms-of-the-six-generators-of-group-so-4.456799/</a> ohne Herleitung beschrieben. <br /> <br />Ein n-dimensionaler euklidischer Raum hat die Symmetriegruppe SO(n). Dementsprechend gibt es in der Quantenmechanik für freie Teilchen und jedes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?n \geq 2"> einen Drehimpulserhaltungssatz mit den zugehörigen Drehimpulsoperatoren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Dez 2024 22:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Man betrachtet die Eigenschaften der Rotationen. Anhand der SO(2) und der Taylorentwicklung zeigt sich, dass die Generatoren antisymmetrisch sein müssen. Im Falle der SO(2) liefert das genau einen Generator. Bei der SO(n) geht es um alle Paare von Indexpaaren (ik), (ki), wobei i ungleich k ist. Davon gibt es <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = (n^2 - n) / 2 = n(n - 1) / 2"> <br /> <br />n^2 wg. der Zahl der Matrixelemente, -n weil die Elemente der Hauptdiagonale nicht gezählt werden, /2 weil nur Paare gezählt werden. <br /> <br /> <br />Alternativ betrachtet man die Definition einer SO(n) Matrix mit n Spalten, die n orthonormierte Einheitsvektoren darstellen. Je Spalte k hat man zunächst n freie Parameter, was jedoch aufgrund der Normierungsbedingung auf n-1 reduziert wird. In der k-ten Spalte hat man außerdem (k-1) Bedingungen aufgrund der geforderten Orthogonalität zu den vorherigen Spalten 1, 2 … k-1. Das liefert ebenfalls <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = (n-1) + (n-2) + \ldots + 1 = n(n - 1) / 2"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Dez 2024 22:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">👍</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Dez 2024 20:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, jetzt hat sich der Knoten gelöst. <br />Die T's sind die N Drehmatrizen und die Anzahl N der Drehmatrizen hängen, wie oben gezeigt von der Anzahl der Dimensionen n und der Eich- bzw. Symmetriegruppe ab. <br /> <br />Dann sind es entsprechend bei der SU(3) insgesamt 8 T's (Drehmatrizen). <br />So sind bei der SO(3) die Drehmatrizen entsprechend der 3 Freiheitsgrade des euklidischen Raums und deswegen ist das speziell? Die SU(2) hat bei 2 Dimensionen insgesamt 3 T's (Drehmatrizen sind die Pauli-Matrizen)? <br /> <br />Die SU(2) "entsteht" aus einer doppelten Überlagerung der SO(3)? <br />Wie wird die Berechnung von N aus n je Gruppe hergeleitet?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Dez 2024 18:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Steht eigtl. alles oben. <br /> <br />T sind die Generatoren, speziell bei der SU(2) sind die drei T's proportional zu den Pauli-Matrizen. <br /> <br />N bezeichnet deren Anzahl also die Anzahl der Drehwinkel. <br /> <br />Ja, SO(3) mit n=3 ist ein Spezialfall, weil N=n.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Dez 2024 18:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">und SO(3) in 3 Dimensionen ist ein Spezialfall. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Warum? Weil n=N=3?! <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In beiden Fällen läuft a über 1 … N: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta = \sum_{n=1}^N T^a \theta^a "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g = e^{-i\,\theta}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was genau drückt N aus? Ich verstehe die Gleichungen aber nicht was T ist? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Lecture Notes sind m.E. sehr gut: <br /><a href="https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html" target="_blank">https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html</a></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Danke. Ich lese da erstmal.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Dez 2024 07:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Lecture Notes sind m.E. sehr gut: <br /><a href="https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html" target="_blank">https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Nov 2024 20:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein. <br /> <br />Das ein Verweis auf die S<span style="font-weight: bold">O</span>(3). SO(n) und SU(n) verhalten sich unterschiedlich, und SO(3) in 3 Dimensionen ist ein Spezialfall. <br /> <br /> <br /> <span style="font-weight: bold">SO(n)</span> enthält die Rotation g auf einem n-dim. <span style="font-weight: bold">reellen</span> Vektorraum. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x \in \mathbb{R}^n"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g : x \to x^\prime = g \, x"> <br /> <br />Die Algebra so(n) wird aufgespannt von den Generatoren T. Die Anzahl der Drehwinkel theta^a = Anzahl der Generatoren T^a = Dimension der so(n) bzw. SO(n) ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{dim} \, \text{SO}(n) = N = \frac{1}{2}n(n-1)"> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">SU(n)</span> enthält die Rotation g auf einem n-dim. <span style="font-weight: bold">komplexen</span> Vektorraum. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x \in \mathbb{C}^n"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g : x \to x^\prime = g \, x"> <br /> <br />Die Algebra sind wird aufgespannt von den Generatoren T. Die Anzahl der Drehwinkel theta^a = Anzahl der Generatoren T^a = Dimension der su(n) bzw. SU(n) ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{dim} \, \text{SU}(n) = N = n^2 - 1"> <br /> <br /> <br />Die N's und die T's sind i.A. für jede Algebra bzw. Gruppe verschieden! <br /> <br />In beiden Fällen läuft a über 1 … N: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta = \sum_{n=1}^N T^a \theta^a "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g = e^{-i\,\theta}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Nov 2024 15:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was sind die Generatoren bzw. was machen sie? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Algebra#Aus_der_Physik</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Bei Wiki sind ε_ij die Generatoren und das Durchnummerieren erfolgt über die Anzahl der Dimensionen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Nov 2024 14:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In einer Eichtheorie basierend auf einer Lie-Gruppe betrachtet man zunächst die die entsprechende Lie-Algebra. Im Falle der SU(2) führt das gerade auf die Pauli-Matrizen *. Nummeriert man die Generatoren T^a der Algebra mit dem Index a durch, so erhält man matrixwertige Eichfunktionen mittels <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta(x) = \sum_a T^a \, \theta^a(x)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g(x) = e^{-i\theta(x)}"> <br /> <br />Das gilt für alle Lie-Algebren bzw. -gruppen. <br /> <br />Speziell für die U(1) ist jedoch der einzige Generator die Zahl 1, theta und g daher komplexe Zahlen. <br /> <br />* bis auf einen Faktor 2 <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma^a = 2 \, T^a"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Nov 2024 13:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Rein thematisch würde ich gerne verstehen, was das Vakuum aus quantentheoretischer Sicht ist und dazu muss ja nicht zwingend die gesamte QFT erlernt werden. Mich interessiert auch die kanonische Quantisierung … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Eine neue Baustelle, ein eigener Thread. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, dann später. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In einer klassischen Eichtheorie entspricht das Vakuum einfach <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\mu(x) = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mu\nu}(x) = 0"> <br /> <br />(in einer QFT funktioniert das so nicht, ähnlich wie in der QM x = p = 0 nicht funktioniert) </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, verstanden. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Eichfeld A und Feldstärke F sind i.A. – nicht in der Elektrodynamik – je Raumzeitpunkt und je Index mu matrix-wertig, bei einer SU(n) Symmetriegruppe eine entsprechende su(n) Matrix. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Warum ist die Elektrodynamik anders? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">d.h. diese Eichfeldkonfigurarionen sind äquivalent zu der mit A = 0. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok nach dem setzen von A=0 bleibt nur noch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{}^\theta \! A_\mu = i \, g \, \partial_\mu \, g^\dagger \sim 0"> <br /> <br />übrig, sodass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{}^\theta \! A_\mu \sim A = 0"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Nov 2024 13:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die Eichtransformation der Fermionfelder erfolgt dabei mittels <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g(x) = e^{-i\theta(x)}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />e ist die eulersche Zahl (e-Funktion)? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi \to {}^\theta \! \psi = g \, \psi = e^{-i\theta} \, \psi"> <br /> <br />g(x) ist dabei je x ein Element der U(1).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Woran erkennt man das? Das ist dann je x die o.g. lokale Eichinvarianz. Bedeutet dies, das global die Eichinvarianz nicht gegeben sein muss? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Transformation des Eichfeldes wird nun etwas anders geschrieben werden, nämlich als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\mu \to {}^\theta \! A_\mu = g \, (A_\mu +i \partial_\mu) \, g^\dagger"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Dann steckt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g=e^{-i\theta(x)}"> <br /> <br />in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g \, (A_\mu +i \partial_\mu) \, g^\dagger">? <br /> <br />Was bedeutet <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g^\dagger"> ? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Der Ableitungsterm berechnet sich zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g i \partial_\mu g^\dagger = - \partial_\mu \theta "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das meine ich allgemein mit "daraus folgt", womit ich Schwierigkeiten habe. Wichtig ist für mein Verständnis: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">was dem weiter oben eingeführten Term entspricht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Der entscheidende Punkt ist, dass man erstens sieht, dass auch das Eichfeld selbst unter der U(1) d.h. vermöge g transformiert, wenn auch mittels einer anderen Regel als psi, und dass diese Art der Darstellung für andere Eichgruppen funktioniert, d.h. wenn g nicht Element der U(1) sondern insbs. der SU(N) ist; in diesen Fällen sind A und g matrix-wertig.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das (über A und g) ist sozusagen ein verallgemeinerter Formalismus der Eichtheorie auf alle Eichgruppen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Nov 2024 14:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Schwer nachvollziehen kann ich oft die Schritte in den Herleitungen, wenn es z.B. heißt "aus Gleichung xy folgt..." oder ähnlich (was ich mit verstehen und konkret anwenden meine). </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dann frage dazu konkret nach. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sprich solange es nicht essentiell ist den kompletten Weg einer Herleitung verstehen zu müssen, komme ich eigentlich mit der Mathematik mittlerweile ganz gut klar …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Gut. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Rein thematisch würde ich gerne verstehen, was das Vakuum aus quantentheoretischer Sicht ist und dazu muss ja nicht zwingend die gesamte QFT erlernt werden. Mich interessiert auch die kanonische Quantisierung … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Eine neue Baustelle, ein eigener Thread. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie war das mit dem Vakuum als Äquivalenzklasse aller verschwindenen Eichfelder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In einer klassischen Eichtheorie entspricht das Vakuum einfach <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\mu(x) = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mu\nu}(x) = 0"> <br /> <br />(in einer QFT funktioniert das so nicht, ähnlich wie in der QM x = p = 0 nicht funktioniert) <br /> <br />Das Eichfeld A und Feldstärke F sind i.A. – nicht in der Elektrodynamik – je Raumzeitpunkt und je Index mu matrix-wertig, bei einer SU(n) Symmetriegruppe eine entsprechende su(n) Matrix. <br /> <br />Die Transformationen mit ebenfalls matrix-wertigen g(x) aus einer Darstellung der SU(N) lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\mu \to {}^\theta \! A_\mu = g \, (A_\mu +i \partial_\mu) \, g^\dagger"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mu\nu} \to {}^\theta \! F_{\mu\nu} = g \, F_{\mu\nu} \, g^\dagger"> <br /> <br />Für das Vakuum gilt also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\mu = 0 \to {}^\theta \! A_\mu = i \, g \, \partial_\mu \, g^\dagger \sim 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{\mu\nu} = 0 \to {}^\theta \! F_{\mu\nu} = 0"> <br /> <br />d.h. diese Eichfeldkonfigurarionen sind äquivalent zu der mit A = 0. <br /> <br />Details zur Berechnung in der SU(2) später.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Nov 2024 12:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Frage ist, was genau du nicht verstehst...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist nicht so einfach zu beantworten. Nicht verstehen, nicht konkret anwenden können und nicht genug verinnerlicht zu haben, sind 3 verschiedene paar Schuhe. <br />Schwer nachvollziehen kann ich oft die Schritte in den Herleitungen, wenn es z.B. heißt "aus Gleichung xy folgt..." oder ähnlich (was ich mit verstehen und konkret anwenden meine). Die Ergebnisse und daraus folgende Zusammenhänge/Schlussfolgerungen verstehe ich wiederum ganz gut. <br /> <br />Sprich solange es nicht essentiell ist den kompletten Weg einer Herleitung verstehen zu müssen, komme ich eigentlich mit der Mathematik mittlerweile ganz gut klar, werde aber von manchen Themen doch regelrecht erschlagen (wobei es ja auch nicht Physiker wie Sand am mehr gibt, die so spezialisiert sind und das genausowenig verstehen, wie ich). Die Frage ist, welche Themen der höheren Mathematik sind unerlässlich zu lernen und welche sind "nice to have". <br />Ansonsten sind es "nur" Begriffe, die verinnerlicht werden müssen und eben mehr Routine mit der "Standard-Mathematik" aber für letzteres habe ich ein Buch (Mathematik mit techn. Bezug aus meinem vor Jahren aus Zeitgründe aufgegebenen Versuch einer Technikerausbildung) hier. <br /> <br />Rein thematisch würde ich gerne verstehen, was das Vakuum aus quantentheoretischer Sicht ist und dazu muss ja nicht zwingend die gesamte QFT erlernt werden. Im einfachsten Fall einer Schwarzschildmetrik (als Spielzeuguniversum) bleibt ja nicht soviel, was mit wechselwirkenden Quantenfeldern beschrieben werden kann. Mich interessiert auch die kanonische Quantisierung aber das muss nicht unbedingt gleich auf Fermionen oder Bosonen abzielen...es geht mir um das Vakuum, dessen verschwindender Energieerwartungswert ja irgendwie die Basis aller Quantenfelder zu sein scheint. <br /> <br />Wie war das mit dem Vakuum als Äquivalenzklasse aller verschwindenen Eichfelder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Nov 2024 12:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Problem ist eher, dass ich die ganzen Fachbegriffe, schreibweisen, Abkürzungen usw. nicht soweit verstanden habe, dass ich deine Ausführungen klar und deutlich verstehe. Es gibt wenige Sätze, bei denen ich nicht erstmal nachschlagen muss.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Frage ist, was genau du nicht verstehst, ob du das einem Buch zur QFT lernen kannst oder wo ganz wo anders, und ob du überhaupt mit einem Thema einsteigen solltest, das im Physikstudium nicht mal verpflichtend ist und ohne diverse Semester Physik und Mathe wohl kaum zugänglich sein dürfte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Nov 2024 12:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Am besten stellst du konkrete Fragen. Ich habe den Eindruck, dass du dich beim Lesen immer verläufst.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das Problem ist eher, dass ich die ganzen Fachbegriffe, schreibweisen, Abkürzungen usw. nicht soweit verstanden habe, dass ich deine Ausführungen klar und deutlich verstehe. Es gibt wenige Sätze, bei denen ich nicht erstmal nachschlagen muss. <br />Also denke ich mir, dass ich mich mit den grundsätzlichen Themen beschäftigen (und sozusagen erstmal schwimmen lernen) sollte, bevor wir hier tiefer eintauchen. <br /> <br />Warum z.B. die Gruppentheorie und warum ist sie so hilfreich in Mathematik und Physik? -> Weil Systeme/Strukturen sich so klassifizieren lassen und damit untereinander vergleichbar werden? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">https://en.wikipedia.org/wiki/Special_unitary_group - insbs. zur Lie-Algebra und zur SU(2) <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices</a> - ohne den letzten Teil zur Physik <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_theory" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_theory</a> - ohne den letzten Teil zur Quantisierung</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Danke. Genau das meine ich. Erstmal die Mathematik verstehen und dann weiter in Physik bzw. Quantisierung gehen. Vorher ist das vielleicht keine vergebene Mühe aber umständlich wäre es allemal. <br /> <br />Ich würde mir auch ein Buch kaufen oder auf Basis eines Scripts lernen aber dann sollten wir beide das gleiche verwenden. Wenn du Peskin und Schröder nicht hast, dann kann ich mir die 130€ auch sparen. Wobei "An Introduction to Quantum Field Theory" von den beiden komplett als PDF ganz einfach bei Google zu finden ist. Den link will ich hier nicht teilen, da es doch sicherlich urheberrechtlich geschützt ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
