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[quote="OkTennis"]Hallo zusammen, Fuer ein Teilchen mit endlicher Energie folgt aus [latex] E = m\gamma c^2 [/latex] [latex] m \to 0[/latex] fuer [latex]v \to c [/latex]. Die Masse des Photons ist daher Null. Die Energie [latex]h\nu[/latex] eines Photons ist gleich der relativistischen Energie eines freien Teilchens mit der Masse [latex]m=0[/latex]: [latex] h\nu = c \, |\vec{p}| \qquad (\mathrm{I}) [/latex] Der relativistische Impuls des Photons betraegt somit [latex] p = \frac{h\nu}{c} = \hbar k [/latex] Da die Richtung des Impulses des Photons mit der Ausbreitungsrichtung der elektromagneti-schen Welle uebereinstimmen muss, gilt [latex] \vec{p} = \hbar \vec{k} [/latex] De Broglie postulierte, dass diese Beziehung auch fuer materielle Teilchen gilt. Meine Frage ist nun, ob es sich dabei um den kinetischen oder den kanonischen Impuls handelt. Bei der obigen "Herleitung" dieser Beziehung im Falle von Photonen ist in Gleichung (I) das [latex] \vec{p} [/latex] der (relativistische) Impuls [latex] m\gamma \vec{v} [/latex] , wobei dieser Ausdruck auch der kanonische Impuls eines freien Teilchens darstellt. Vielen Dank fuer Eure Hilfe![/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jun 2025 05:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Siehe auch der andere Thread zum Impulsoperator. <br /> <br /> <br />Ein relativistisches freies Teilchen wird durch eine ebene Welle <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_p(x) = e^{-ipx/\hbar}"> <br /> <br />beschrieben *, wobei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?px = p_\mu x^\mu"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-i\hbar\partial_\mu \, u_p(x) = p_\mu \, u_p(x)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\mu p^\mu - m^2 = 0"> <br /> <br />gilt. <br /> <br />Dabei folgt der Differentialoperator aus der relativistischen Quantenmechanik * oder bereits klassisch aus den Maxwellsche Gleichungen *. <br /> <br />Im Falle der <span style="font-style: italic">freien Klein-Gordon-Gleichung</span> kann argumentieren, dass <span style="font-style: italic">kinetischer = kanonischer Impuls</span> gilt. <br /> <br />Liegt nun <span style="font-style: italic">kein freies Teilchen</span> vor bzw. ist <span style="font-style: italic">kinetischer ≠ kanonischer Impuls</span>, so verliert die de-Broglie-Beziehung ihren Sinn, da die ebenen Wellen zwar Eigenfunktionen zu diesem <span style="font-style: italic">kanonischen Impulsoperator</span> darstellen, jedoch <br />1) weder Translationssymmetrie vorliegt, und dieser Impuls daher keine Erhaltungsgröße darstellt, <br />2) noch die so definierten ebene Wellen Eigenfunktionen des Hamiltonians sind <br /> <br />Man kann das auch so formulieren: die Idee, eine Wellengleichung mittels dieses Impulsoperators zu definieren, funktioniert auch in der relativistischen Quantenmechanik und auch für nicht freie Teilchen. Aber für letztere funktioniert die de-Broglie-Beziehung nicht mehr, da sie keine Lösungen der Wellengleichung liefert; bei diesen handelt es sich nicht mehr um ebene Wellen. <br /> <br />* wobei das nur bei der Klein-Gordon-Gleichung straightforward ist; bei der Dirac-Gleichung muss man die vier Komponenten eines Spinors einzeln betrachten, und im Falle der Maxwellschen Gleichungen gilt dies nicht in jeder Eichung, außerdem zunächst eben gerade nicht für ein Photon (QED) sondern nur für eine ebene elektromagnetische Welle, bei der man noch die Polarisation berücksichtigen muss</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>OkTennis</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jun 2025 04:10<span class="gen"> </span> Titel: De-Broglie-Beziehung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo zusammen, <br /> <br />Fuer ein Teilchen mit endlicher Energie folgt aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E = m\gamma c^2 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m \to 0"> fuer <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v \to c ">. Die Masse des Photons ist daher Null. Die Energie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h\nu"> eines Photons ist gleich der relativistischen Energie eines freien Teilchens mit der Masse <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m=0">: <br /> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? h\nu = c \, |\vec{p}| \qquad (\mathrm{I}) "> <br /> <br /> <br /> <br />Der relativistische Impuls des Photons betraegt somit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? p = \frac{h\nu}{c} = \hbar k "> <br /> <br /> <br />Da die Richtung des Impulses des Photons mit der Ausbreitungsrichtung der elektromagneti-schen Welle uebereinstimmen muss, gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{p} = \hbar \vec{k} "> <br /> <br /> <br /> <br />De Broglie postulierte, dass diese Beziehung auch fuer materielle Teilchen gilt. <br /> <br /> <br />Meine Frage ist nun, ob es sich dabei um den kinetischen oder den kanonischen Impuls handelt. <br /> <br /> <br />Bei der obigen "Herleitung" dieser Beziehung im Falle von Photonen ist in Gleichung (I) das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{p} "> der (relativistische) Impuls <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m\gamma \vec{v} "> , wobei dieser Ausdruck auch der kanonische Impuls eines freien Teilchens darstellt. <br /> <br /> <br /> <br />Vielen Dank fuer Eure Hilfe!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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