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[quote="Nils Hoppenstedt"]Hallo, ich denke die Verwirrung kommt daher, dass der Begriff Makrozustand in unterschiedlichen Definitionen verwendet wird. (1) "Boltzmann-Makrozustand" = Teilmenge von bestimmten Mikrozuständen (2) "thermodynamischer Makrozustand" = Punkt im thermodynamischer Zustandsraum Die Temperatur ist im Sinne von Def. (1) KEIN Makrozustand, da sie keine Teilmenge von Mikroszuständen festlegt, aber im Sinne von Def. (2) ist sie ein Makrozustand. Eine Makrovariable würde ich definieren als eine Funktion, die einem Mikrozustand eine bestimmte Zahl eindeutig zuordnet. Damit wäre beispielsweise die Gesamtenergie E eine Makrovariable und die Temperatur T nicht. [quote] Angenommen ein Makrozustand sei durch die statistische Wichtung der Mikrozustände gegeben. In der Realität hat man zu einem bestimmten Zeitpunkt aber immer einen realisierten Mikrozustand. [/quote] Ja, aber beachte, dass die Mikrozustände permanent fluktuieren und von einem Mikrozustand zu einem anderen Mikrozustand springen. [quote] Angenommen man hat ein Gas in einem Kasten. Dieses Gas befindet sich zu einer Zeit t komplett in einer Hälfte. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten A) Es ist in einem Gleichgewichtszustand und hat sich spontan zusammen gezogen (unwahrscheinlich, aber theoretisch möglich) B) Es ist in einem Nicht-Gleichgewichtszustand und muss erst noch in ein Gleichgewicht streben. [/quote] In diesem Fall ist das System NICHT in einem thermodynamischen Gleichgewicht (da es in kurzer Zeit einen makroskopischen Teilchenstrom zur leeren Hälfte geben wird). Es gibt also keinen thermodyn. Gleichgewichtsmakrozustand gemäß Definition (2), der das Gas beschreibt. Allerdings kann man einen Boltzmann-Makrozustand gemäß Definition (1) definieren, etwa M = {Alle Mikrozustände mit Teilchenort = links}. Wie gesagt, die exakte Definition von "Makrozustand" ist hier ausschlaggebend. Viele Grüße, Nils[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Aug 2026 19:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Darauf aufbauend hätte ich noch eine Frage. <br />Im mikrokanonischen Ensemble kann man Temperatur über die Ableitung der Entropie nach der Energie definieren. <br />Wie funktioniert das im kanonischen Ensemble? <br />Ich finde es unbefriedigend, wenn man a priori den Temperaturbegriff voraussetzt um damit den kanonischen Makrozustand zu definieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich kenne folgenden Weg; hier eine grobe Skizze: <br /> <br /> <br />Man wendet auf die Gibbs-Entropie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S(p_i) = - \sum_i p_i \, \ln p_i"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_i p_i = 1"> <br /> <br />und festgehaltener mittlerer Energie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_i p_i E_i = U"> <br /> <br />das Maximum-Entropie-Prinzip an, d.h. man maximiert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{S} = S - \alpha \left( \sum_i p_i -1 \right) - \beta \left( \sum_i p_i E_i - U \right) "> <br /> <br />unter Berücksichtigung der beiden Nebenbedingungen. <br /> <br />alpha und beta sind zwei Lagrange-Multiplikatoren; die Nebenbedingungen erhält man zurück mittels Differentation nach diesen. <br /> <br />Außerdem berechnet man natürlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial p_i} = 0"> <br /> <br />und erhält die Lösung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_i = Z^{-1} \, e^{-\beta E_i}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \sum_i e^{-\beta E_i}"> <br /> <br />wobei alpha eliminiert wurde. <br /> <br /> <br />Aus der Form von Z und U folgt nun <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U = -\frac{1}{Z} \frac{dZ}{d\beta}"> <br /> <br /> <br />Außerdem findet man durch Einsetzen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S = \beta U + \ln Z"> <br /> <br /> <br />Zuletzt berechnet man damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{\partial S}{\partial \beta}\frac{\partial \beta}{\partial U} = \beta"> <br /> <br />Aber dies entspricht der thermodynamischen Beziehung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{1}{T}"> <br /> <br />Damit kann man nun <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta = \frac{T}"> <br /> <br />identifizieren. <br /> <br />Die Bedeutung von beta folgt also aus der Thermodynamik. Das Prinzip lautet "Maximierung der Entropie plus thermodynamische Definition der Temperatur". Man definiert damit keine Temperatur, sondern man erhält die Temperatur sowie das kanonische Ensemble mittels der Gibbs-Entropie und dem genannten Prinzip.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Jepp kenn ich. <br />Ich würde dann Temperatur so interpretieren. <br />Man möchte maximale Entropie und minimale Energie haben. <br />Beides gleichzeitig geht es nicht. Dwshalb bildet man einen Kompromiss <br /> <br />F=U-TS <br />Man minimiert diese Funktion, die der freien energie entspricht. <br />T ist dabei ein wichtungsfaktor. Je höher T desto mehr Gewichtet man die Entropie. <br />Ist im prinzip dasselbe was du gemacht hast. Nur dass man das einmal durch -T teilek muss <br />Wäre das eine gute anschauliche Interpretation? <br /> <br />Lässt das auch eine interessante Analog zu den Logit Outputs von Transformermodellen zu? <br />Also um die softmax funktion zu erhalten <br />Maximiert man <z>-<lnz> wobei z_i die Logits sind. <br />Man muss z durch -E tauschen und man ist in der physik. <br /><z> fügt die forderung hinzu dass hohe Logitwerte (kleine Energien).bevorzugt werden im Vergleich zur Gleichverteilung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nils Hoppenstedt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Aug 2026 13:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im mikrokanonischen Ensemble kann man Temperatur über die Ableitung der Entropie nach der Energie definieren. <br />Wie funktioniert das im kanonischen Ensemble? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im kanonischen Ensemble ist die Temperatur eine Randbedingung die durch Koppelung an ein Wärmebad konstant gehalten wird. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich finde es unbefriedigend, wenn man a priori den Temperaturbegriff voraussetzt um damit den kanonischen Makrozustand zu definieren. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Existenz einer Größe namens "Temperatur", die den thermischen Gleichgewichtszustand kennzeichnet, wird durch den Nullten Hauptsatz der Thermodynamik sichergestellt und ist sozusagen die axiomatische Grundlage für die gesamte Theorie. Von daher ist das schon in Ordnung. :) <br /> <br />Viele Grüße, <br />Nils</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Aug 2026 13:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Darauf aufbauend hätte ich noch eine Frage. <br />Im mikrokanonischen Ensemble kann man Temperatur über die Ableitung der Entropie nach der Energie definieren. <br />Wie funktioniert das im kanonischen Ensemble? <br />Ich finde es unbefriedigend, wenn man a priori den Temperaturbegriff voraussetzt um damit den kanonischen Makrozustand zu definieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich kenne folgenden Weg; hier eine grobe Skizze: <br /> <br /> <br />Man wendet auf die Gibbs-Entropie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S(p_i) = - \sum_i p_i \, \ln p_i"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_i p_i = 1"> <br /> <br />und festgehaltener mittlerer Energie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_i p_i E_i = U"> <br /> <br />das Maximum-Entropie-Prinzip an, d.h. man maximiert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{S} = S - \alpha \left( \sum_i p_i -1 \right) - \beta \left( \sum_i p_i E_i - U \right) "> <br /> <br />unter Berücksichtigung der beiden Nebenbedingungen. <br /> <br />alpha und beta sind zwei Lagrange-Multiplikatoren; die Nebenbedingungen erhält man zurück mittels Differentation nach diesen. <br /> <br />Außerdem berechnet man natürlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial p_i} = 0"> <br /> <br />und erhält die Lösung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_i = Z^{-1} \, e^{-\beta E_i}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \sum_i e^{-\beta E_i}"> <br /> <br />wobei alpha eliminiert wurde. <br /> <br /> <br />Aus der Form von Z und U folgt nun <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U = -\frac{1}{Z} \frac{dZ}{d\beta}"> <br /> <br /> <br />Außerdem findet man durch Einsetzen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S = \beta U + \ln Z"> <br /> <br /> <br />Zuletzt berechnet man damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{\partial S}{\partial \beta}\frac{\partial \beta}{\partial U} = \beta"> <br /> <br />Aber dies entspricht der thermodynamischen Beziehung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{1}{T}"> <br /> <br />Damit kann man nun <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta = \frac{T}"> <br /> <br />identifizieren. <br /> <br />Die Bedeutung von beta folgt also aus der Thermodynamik. Das Prinzip lautet "Maximierung der Entropie plus thermodynamische Definition der Temperatur". Man definiert damit keine Temperatur, sondern man erhält die Temperatur sowie das kanonische Ensemble mittels der Gibbs-Entropie und dem genannten Prinzip.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Aug 2026 08:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ah ok. Womit wir wieder bei dem Punkt wären, dass es zwei unterschiedliche Begriffe von Makrozustand gibt. <br /> <br />Darauf aufbauend hätte ich noch eine Frage. <br />Im mikrokanonischen Ensemble kann man Temperatur über die Ableitung der Entropie nach der Energie definieren. <br />Wie funktioniert das im kanonischen Ensemble? <br />Ich finde es unbefriedigend, wenn man a priori den Temperaturbegriff voraussetzt um damit den kanonischen Makrozustand zu definieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Aug 2026 00:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich betrachte nicht den kanonischen Makrozustand, sondern die Energie-Makrozustände; im mikrokanonischen Ensemble trägt nur ein derartiger Energie-Makrozustand bei, im kanonischen alle. Das kanonische Ensemble ist letztlich ein Ensemble derartiger Energie-Makrozustände. <br /> <br />Man kann das für die Entropie fortführen. Mittels des statistischen Operators sieht man, wie <br />a) jeder einzelne Zustand, und wie <br />b) jeder Energie-Makrozustand <br />zur Entropie des kanonischen Makrozustandes beiträgt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Aug 2026 21:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was ich an deinem Beispiel nicht verstehe ist warum du einerseits den Makrozustand über eine Energie E definierst und andererseits die kanonische Zustandssumme betrachtest wonach der Makrozustand über eine Temperatur T definiert ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Aug 2026 20:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Witzigerweise ist das in der Quantenmechanik einfacher zu sehen als in der klassischen Mechanik, weil man quantenmechanische Zustände oft sehr schön abzählen kann. <br /> <br />Nehmen wir als Zustandsgröße des Makrozustandes die Gesamtenergie E, als Mikrozustände die Zustände <span style="font-weight: bold">eines</span> 3-dim. harmonischen Oszillators (natürlich setzt man üblicherweise nicht einen sondern N Oszillatoren an, aber ich möchte zunächst die Idee zeigen): Die Zustände schreiben wir wie üblich als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|u\rangle = |n_x, n_y, n_z\rangle"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_u = n_x + n_y + n_z"> <br /> <br />Die Nullpunktsenergie lasse ich weg, sie ist für die Zählung irrelevant. <br /> <br />Die Zustandssume lautet dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \sum_u e^{-\beta E_u} = \sum_{E=0}^\infty g(E) \, e^{-\beta E}"> <br /> <br />Ich setze dabei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = \hbar = k_B = 1, \; \beta = T^{-1}"> <br /> <br />Die Zustandssumme wird berechnet einmal als Summe über die Mikrozustände u, dann als Summe über die Makrozustände E. <br /> <br />g(E) ist der Entartungsgrad je E, d.h. die Anzahl der Mikrozustände u, die zu einem Makrozustand E gehören. Man sieht <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = 0 \to u = |0, 0, 0\rangle \to g(0) = 1"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = 1 \to u = |1, 0, 0\rangle, |0, 1, 0\rangle, |0, 0, 1\rangle \to g(0) = 3"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = 2 \to \ldots \to g(2) = 6"> <br /> <br />Allgemein gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g(E) = \frac{1}{2}(E+2)(E+1)"> <br /> <br />D.h. letztlich führt man möglichst alle thermodynamischen Größen ausgehend von den Mikrozuständen auf Makrozustände und deren Entartungsgrad zurück. <br /> <br />Was genau einen Makrozustand definiert hängt mit der Frage zusammen, welches Ensemble man in der statischen Mechanik betrachtet. Ich habe das hier nur für ein sehr einfaches Spielzeugmodell anhand der Energie gezeigt. <br /> <br />Ein anderes sehr einfaches Beispiel wären N Spins im Magnetfeld.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nils Hoppenstedt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Aug 2026 17:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ich denke die Verwirrung kommt daher, dass der Begriff Makrozustand in unterschiedlichen Definitionen verwendet wird. <br /> <br />(1) "Boltzmann-Makrozustand" = Teilmenge von bestimmten Mikrozuständen <br /> <br />(2) "thermodynamischer Makrozustand" = Punkt im thermodynamischer Zustandsraum <br /> <br />Die Temperatur ist im Sinne von Def. (1) KEIN Makrozustand, da sie keine Teilmenge von Mikroszuständen festlegt, aber im Sinne von Def. (2) ist sie ein Makrozustand. <br /> <br />Eine Makrovariable würde ich definieren als eine Funktion, die einem Mikrozustand eine bestimmte Zahl eindeutig zuordnet. Damit wäre beispielsweise die Gesamtenergie E eine Makrovariable und die Temperatur T nicht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Angenommen ein Makrozustand sei durch die statistische Wichtung der Mikrozustände gegeben. In der Realität hat man zu einem bestimmten Zeitpunkt aber immer einen realisierten Mikrozustand. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, aber beachte, dass die Mikrozustände permanent fluktuieren und von einem Mikrozustand zu einem anderen Mikrozustand springen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Angenommen man hat ein Gas in einem Kasten. Dieses Gas befindet sich zu einer Zeit t komplett in einer Hälfte. <br />Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten <br />A) Es ist in einem Gleichgewichtszustand und hat sich spontan zusammen gezogen (unwahrscheinlich, aber theoretisch möglich) <br />B) Es ist in einem Nicht-Gleichgewichtszustand und muss erst noch in ein Gleichgewicht streben. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In diesem Fall ist das System NICHT in einem thermodynamischen Gleichgewicht (da es in kurzer Zeit einen makroskopischen Teilchenstrom zur leeren Hälfte geben wird). Es gibt also keinen thermodyn. Gleichgewichtsmakrozustand gemäß Definition (2), der das Gas beschreibt. <br />Allerdings kann man einen Boltzmann-Makrozustand gemäß Definition (1) definieren, etwa <br /> <br />M = {Alle Mikrozustände mit Teilchenort = links}. <br /> <br /> <br />Wie gesagt, die exakte Definition von "Makrozustand" ist hier ausschlaggebend. <br /> <br />Viele Grüße, <br />Nils</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Aug 2026 17:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die Antwort <br /> <br />Ich glaube bei Mikrozuständen ist da nicht so der Dissens und das ist verstanden. <br />Makrozustände sind das Problem. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das kanonische Ensemble ist nun ein völlig neues Konzept. Das kanonische Ensemble beschreibt den Gleichgewichtszustand eines Systems im Wärmebad, das durch die Angabe der drei Größen T,V,N makroskopisch vollständig beschrieben ist. <br /> <br />Beachte, dass T,V,N zwar das System festlegen, selbst aber KEINE Makrovariablen sind. Es gibt beispielsweise zur Temperatur T in einem Gas keine Funktion die einem Mikrozustand (x1,p1,x2,p2, ...) eine Temperatur zuordnen kann. Im Gegensatz dazu wäre aber z.b. die Gesamtenergie E eine Makrovariable. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Da besteht jetzt Unklarheit über den Begriff Makrovariable. <br />In einem Mikrokanonischen Ensemble gibt es zu einem Makrozustand eine Äquivalenzklasse an Mikrozuständen, die ihn realisieren. <br />Im kanonischen Ensemble kann man einem Makrozustand zur Temperatur T nicht mehr einen Mikrozustand zuordnen, der ihn realisiert. Und hier liegt mein Verständnisproblem, denn Entropie wird häufig anschaulich als Maß für die Anzahl an Mikrozuständen mit denen man einen Makrozustand realisiert, beschrieben. Das funktioniert im kanonischen Ensemble aber nicht mehr. Was man stattdessen hat, ist eine statische Wichtung von Mikrozuständen. <br />Jetzt ist die Frage ob diese statistische Wichtung gleichbedeutend ist mit dem Makrozustand. <br /> <br />Außerdem wird von T auch als Makrovariable gesprochen. Es ist zwar so, dass man einem Makrozustand mit Temperatur T nicht mehr einen Mikrozustand zuordnen kann aber dennoch definiert T den Makrozustand und unter Makrovariable verstand ich bisher Größen, die einen Makrozustand charakterisieren. <br /> <br /> <br />Angenommen ein Makrozustand sei durch die statistische Wichtung der Mikrozustände gegeben. In der Realität hat man zu einem bestimmten Zeitpunkt aber immer einen realisierten Mikrozustand. Angenommen man hat ein Gas in einem Kasten. Dieses Gas befindet sich zu einer Zeit t komplett in einer Hälfte. <br />Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten <br />A) Es ist in einem Gleichgewichtszustand und hat sich spontan zusammen gezogen (unwahrscheinlich, aber theoretisch möglich) <br />B) Es ist in einem Nicht-Gleichgewichtszustand und muss erst noch in ein Gleichgewicht streben. <br /> <br />Wie unterscheidet man diese beiden Situationen?[/latex]</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nils Hoppenstedt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Aug 2026 12:41<span class="gen"> </span> Titel: Re: Mikro- und Makrozustände</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Das Konzept der Mikrozustände hast du bereits schon gut verstanden. Ein Makrozustand ist - wie du auch schon richtig geschrieben hast - eine Menge von Mikrozuständen, die hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft identisch sind. Zum Beispiel: Anzahl der Teilchen mit Spin-Up, Anzahl der Zustände "Kopf" bei Münzen oder die Gesamtenergie E bei einem Gas. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Soweit so einfach. Jetzt ist es in der Physik aber irgendwie doch nicht so einfach. Denn es gibt sowas wie ununterscheidbarkeit und Boltzmanabzählung. Nehmen wir an die Münzen seien ununterscheidbar. <br />Dann wären die Zustände KKZ, KZK und ZKK derselbe Mikrozustand. und das was vorher noch als Makrozustand bezeichnet wurde, ist jetzt ein Mikrozustand. Für mich passt das nicht zusammen. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist kein Widerspruch. Durch die Aufhebung der Unterscheidbarkeit hast du einfach einen Fall geschaffen, bei dem jeder Makrozustand (z.B. (K=2, Z=1)) durch genau einen Mikrozustand realisiert wird. Makro- und Mikrozustand sind also unter diesen Rahmenbedingungen einfach identisch. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich weiß jetzt auch überhaupt nicht wie ich das mit dem kanonischen Ensemble in Verbindung bringen soll. Also wie ist da ein Makrozustand genau definiert. Zu sagen dass er durch Makrovariablen T, V, N definiert ist, ist mir zu schwammig. Ich hätte es gern als irgendwas das durch eine bestimmte Anzahl von Mikrozuständen realisiert ist, aber das ist da nicht so einfach. <br />Alternativ würde ich die Verteilung (z-B. Boltzmann) direkt als Makrozustand auffassen bzw im quantenmechanischen Formalismus ist es dann gemischter Zustand (Makrozustand) vs reiner Zustand (Mikrozustand). <br />Wisst ihr was ich meint? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das kanonische Ensemble ist nun ein völlig neues Konzept. Das kanonische Ensemble beschreibt den Gleichgewichtszustand eines Systems im Wärmebad, das durch die Angabe der drei Größen T,V,N makroskopisch vollständig beschrieben ist. <br /> <br />Beachte, dass T,V,N zwar das System festlegen, selbst aber KEINE Makrovariablen sind. Es gibt beispielsweise zur Temperatur T in einem Gas keine Funktion die einem Mikrozustand (x1,p1,x2,p2, ...) eine Temperatur zuordnen kann. Im Gegensatz dazu wäre aber z.b. die Gesamtenergie E eine Makrovariable. <br /> <br />Viele Grüße, <br />Nils</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Aug 2026 09:49<span class="gen"> </span> Titel: Mikro- und Makrozustände</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi irgendwie habe ich Probleme ein konsistentes Konzept und Makrozuständen zu haben. <br /> <br />Mikrozustände sind mir klar. Man hat in einer physikalischen Theorie einen Zustandsraum (was eine mathematische Struktur ist) und die Elemente des Zustandsraum sind ein Mikrozustand. <br /> <br />Beispiel 1: klassische Mechanik, Zustandsraum => Phasenraum, Mikrozustand => Punkt im Phasenraum <br />Beipiel 2: Quantenmechanik, Zustandsraum => Hilbertraum (vereinfacht), Mikrozusand Element aus Hilbertraum <br /> <br />Soweit so gut. Jetzt zu den Makrozuständen. <br /> <br />Man fängt häufig einleitend mit einer Analogie an. Zum Beispiel den Münzwurf. Angenommen man habe 3 Münzen, die die Zustände Kopf (K) oder Zahl (Z) annehmen können. Dann gibt es die Möglichkeiten <br />KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ <br /> <br />Jede Realisierung ist in diesem Beispiel ein Mikrozustand. Ein Makrozustand ist die gröbere beschreibung nach der Anzahl an Kopf und Zahl. SO hat der Makrozustand 2 mal Kopf und einmal Zahl drei Mikrozustände (KKZ, KZK, ZKK). <br />Soweit so einfach. Jetzt ist es in der Physik aber irgendwie doch nicht so einfach. Denn es gibt sowas wie ununterscheidbarkeit und Boltzmanabzählung. Nehmen wir an die Münzen seien ununterscheidbar. <br />Dann wären die Zustände KKZ, KZK und ZKK derselbe Mikrozustand. und das was vorher noch als Makrozustand bezeichnet wurde, ist jetzt ein Mikrozustand. Für mich passt das nicht zusammen. <br /> <br />Ich weiß jetzt auch überhaupt nicht wie ich das mit dem kanonischen Ensemble in Verbindung bringen soll. Also wie ist da ein Makrozustand genau definiert. Zu sagen dass er durch Makrovariablen T, V, N definiert ist, ist mir zu schwammig. Ich hätte es gern als irgendwas das durch eine bestimmte Anzahl von Mikrozuständen realisiert ist, aber das ist da nicht so einfach. <br />Alternativ würde ich die Verteilung (z-B. Boltzmann) direkt als Makrozustand auffassen bzw im quantenmechanischen Formalismus ist es dann gemischter Zustand (Makrozustand) vs reiner Zustand (Mikrozustand). <br />Wisst ihr was ich meint? <br /> <br />Vielen Dank.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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