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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="pompom"]Hallo,

Wir betrachten ein System von N Massenpunkten mit k holonomen Zwangsbedingungen:

[latex]g_i ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2 , \hdots , \vec{r}_N , t ) = 0 \ , \quad i = 1,2, \hdots , k \ . [/latex]

Eine virtuelle Verr\"uckung [latex]\delta \vec{r}= ( \delta \vec{r}_1 , \delta \vec{r}_2 , \hdots ,  \delta \vec{r}_N )[/latex] muss mit den Zwangsbedingungen vertr\"aglich sein, d. h.

[latex]  g_i (\vec{r}_1 + \delta \vec{r}_1 , \vec{r}_2 + \delta \vec{r}_2 , \hdots ,\vec{r}_N + \delta \vec{r}_N , t ) = 0   \quad  \text{f\"ur alle $i= 1,2, \hdots , k$.}  [/latex]

Da [latex] g_i (\vec{r}_1 , \hdots , \vec{r}_N , t )=0 [/latex] ist, gilt dann

[latex] 0 = g_i (\vec{r}_1 + \delta \vec{r}_1 ,  \hdots ,\vec{r}_N + \delta \vec{r}_N , t ) -g_i (\vec{r}_1 , \hdots , \vec{r}_N , t ) = \nabla g_i ( \vec{r}_1  , \hdots ,\vec{r}_N , t ) \cdot \delta \vec{r} \ ,  [/latex]

wobei [latex]\nabla = ( \nabla_1 , \nabla_2 , \hdots , \nabla_N)[/latex] ist.

Das heisst, jede virtuelle Verrueckung ist ein Element von

[latex] \text{Kern} \, A = \left\{  \vec{x} \in \mathbb{R}^{3N} \mid A \,  \vec{x} = 0  \right\}  [/latex]

mit

[latex] A := \begin{pmatrix} ( \nabla g_1 )^\mathrm{T} \\ ( \nabla g_2)^\mathrm{T} \\ \vdots \\ ( \nabla g_k )^\mathrm{T}  \end{pmatrix} \ . [/latex]

mit Rang A = k, da die Gradienten linear unabhaengig sind.

Nun moechte ich zeigen, falls ueberhaupt moeglich, dass die Menge aller zulaessigen virtuellen Verrueckungen mit Kern A uebereinstimmt. Also ich muesste zeigen, dass jedes Element von Kern A eine zulaessige virtuelle Verrueckung darstellt. Leider sehe ich nicht, wie man das machen koennte.

Der Grund dafuer:

Sei U die Menge aller virtuellen Verrueckungen.

Ich moechte zeigen, dass das orthogonale Komplement von U, also die Menge aller Vektoren, die zu jedem Vektor von U senkrecht stehen, die Dimension k hat. Dann bilden die k unabhaengigen Gradienten eine Basis dieses orthogonalen Komplements.

Wenn U = Kern A ist, gilt nach der Dimensionsformel dim U = dim Kern A = 3N - Rang A = 3N-k . Die Dimension des orthogonalen Komplements ist dann gerade 3N - dim U = k .

Vielen Dank fuer Eure Hilfe![/quote]

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