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So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="TomS"]Grundlegend ist die Symmetrie der Minkowski-Raumzeit. Die RT ergibt nur dann Sinn, wenn alle Vierervektoren identisch transformieren.

Die Null-Komponente ist nicht ct, sie ist nur ct [b]im Sinne der Zeitkoordinate t[/b] bzgl. der zugehörigen raumartigen Gleichzeitigsebene bzw. -hyperfläche.

Haben wir einen Beobachter mit Eigenzeit tau, so gilt für dessen zeitartige Vierergeschwindigkeit in dem mit ihm mitbewegten Koordinatensystem

[latex]u^\mu = (t, 0, 0, 0) = (\tau, 0, 0, 0)[/latex]

Die Zeitkoordinate t ist im mitbewegten System gleich der Eigenzeit tau, und die räumlichen Komponenten x, y, z wären das, was er auf einem ebenfalls mitbewegten Meterstab abliest.

Wenn sich also etwas bzgl. dieses Meterstabs um eine Länge a in z-Richtung befindet, dann erhält dieses etwas die Koordinaten

[latex](t, 0, 0, a)[/latex]

(die Richtungen für x, y, z müssen orthogonal zur Zeitrichtung sein, und sie müssen untereinander orthogonal sein; ansonsten sind sie frei wählbar)

Bis hierher haben wir nur einen Beobachter betrachtet, und es ist sinnlos, ein gamma einzuführen.

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter ist mathematisch äquivalent zur Forderung, dass sich Vektoren unter Wechsel des Bezugsystems unter der Lorentz-Gruppe transformieren (ich vernachlässige hier mal die Translationen).

Außerdem folgt für Energie und Impuls (und damit auch für weitere Größen wie Drehimpuls), wie sich diese transformieren müssen, im Falle des Energie-Impuls-Vierervekors ebenfalls identisch wie oben (immer unter der Lorentz-Gruppe, nur teilweise komplizierter, siehe z.B.der el.-mag. Feldstärkentensor).

Wenn man etwas anders wählt, erhält man - wenn überhaupt etwas sinnvolles -- dann nicht die RT, damit nicht den zutreffenden Rahmen für Elektromagnetismus, relativistische Quantenfeldtheorie. Insofern folgt, dass sich alle Vierervektoren identisch transformieren müssen, wenn man zu einem anderen Bezugsystem übergeht.

(man kann auch andere Transformationen vier Dimensionen finden, aber dann beschreibt das Gebilde nicht die Realität)

Also folgt letztlich, dass die Bedeutung der Komponenten [b]bezüglich eines bestimmten Bezugsystems[/b] festgelegt sind, und dass sich die Vektoren genau so transformieren müssen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#Mathematical_formulation[/quote]

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