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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Herbststurm</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Okt 2008 20:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die Antworten. <br /> <br />Ich muss die Thematik leider neben einigen anderen bis zur nächsten vorlesungsfreien Zeit auf Eis legen... <br /> <br />Die Vorlesungen haben wieder begonnen was den Vorteil hat mit ganz neuem Stoff endlich wieder so richtig überfordert und in Zeitdruck zu sein, (mittlerweile habe ich fast Spaß drann), aber lernen in eigener Sache geht jetzt wieder nicht mehr <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br /> <br />Aber das Thema bleibt mit Sicherheit im Hinterkopf <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>aVague</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2008 14:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Groblich zu sagen , ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Phi(t)"> fur <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dot{x}=f(t) "> Losung, dann wird <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac {dV(\Phi(t))}{dt} =^{def} \sum \frac {\partial V(\Phi(t))}{\partial x_{j}}\cdot \dot {x_{j}} "> ,aber <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dot{x_{j}}=\Phi(t) "> und dann bekommst du <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{dt} V(\Phi(t)) = \sum\limits_{j=1}^{N} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} (\Phi(t)) \cdot \frac{d\Phi_{j}}{dt}(t)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2008 12:37<span class="gen"> </span> Titel: Re: Stabilitätskriterium Ruhelage Pendel [Theoretische Phy</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich muss gestehen, dass sich das ganze für mich ziemlich mathematisch anfühlt, und dass ich beim Lesen dieser mathematischen Ausdrücke ständig nach Bildern wie "wenn ich eine Murmel innerhalb einer Mulde starten lasse, (unter gewissen Anfangsbedingungen?), dann bleibt sie drin" gesucht habe <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Herbststurm hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Zu zeigen bleibt nun noch, dass die für alle Zeiten gilt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{dt} V(\Phi(t)) = \sum\limits_{j=1}^{N} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} (\Phi(t)) \cdot \frac{d\Phi_{j}}{dt}(t)"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Mir scheint, wenn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi"> eine ausreichend brave Funktion von x ist, also zum Beispiel einfach eine lineare Funktion von x, dann wird diese Bedingung erfüllt. <br /> <br />Diese Bedingung scheint also sicherzustellen, dass der Zusammenhang von Phi und x und damit auch der Zusammenhang zwischen V und Phi hinreichend brav ist und keine unerwarteten "Spirenzien" macht. <br /> <br />Hilft dir dieses Gefühl, obwohl es sicher überhaupt noch nicht mathematisch strikt ist, schon ein kleines bisschen weiter?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Herbststurm</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2008 00:08<span class="gen"> </span> Titel: Stabilitätskriterium Ruhelage Pendel [Theoretische Physik]</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ich scheiter am mathematischen Pendel <img src="images/smiles/mecry.gif" alt="traurig" border="0" /> Konkret dem Stabilitätskriterium. Die Aussage ist: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> ist Ruhelage und stabil, wenn A reel quadratisch ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}=Ax"> <br /> <br />Den Beweis zur obigen Aussage über das Eigenwertproblem verstehe ich prinzipiell. Es wird jedoch ein Argument genutzt, das ich nicht kapier <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br /> <br />Es wird behauptet, dass die stabile Ruhelage <span style="text-decoration: underline">immer</span> ein lokales minimum einer Ljapunow-Funktion sei. Den Beweis zu genau dieser Aussage hat eine Seltsame Tücke, konkret bei der Zeit. <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br /> <br />Also man hat eine offene Menge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M \subset \mathbb{R}^{N}"> und ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f: M \rightarrow \mathbb{R}^{N}"> und den besagten Ruhepunkt des Pendel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f">. Die Ljapunow-Funktion für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> ist definiert als: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V: m \rightarrow \mathbb{R}">. Wenn also nun <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0} \in M"> Ruhelage von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V"> in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> ein striktes lokales Minimum, dann ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> stabil. <br /> <br />Wenn man nun eine Umgebung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{0}"> um den Punkt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> hat und diese schrittweise verkleinert, findet man im Fall von Stabilität eine neue Umgebung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{1}"> für die gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall x_{1} \in U_{1}"> gilt die Lösung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi_{x_{1}}: I(x_{1}) \rightarrow \mathbb{R}^{N}"> des Anfangswertsproblems <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}=f(x), ~ x(0)=x_{1}">, die Relation <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi_{x_{1}}(t) \in U_{0} ~ \forall t \in I(x_{1}); ~ t \geq 0"> <br /> <br />Weil <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V"> an <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> ein striktes Minimum besitzen soll, gibt es eine Umgebung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W_{1} \in M"> von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> mit der Eigenschaft: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(x) > V(x_{0}) =: \alpha ~ \forall x \in W_{1} \setminus \{ x_{0} \}"> <br /> <br />Sei nun <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varrho > 0"> so klein, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W_{2} := \overline{B(x_{0}, \varrho)} \subset U_{0} \cap W_{1}"> gilt. <br /> <br />Da die Ljapunow-Funktion V stetig ist, nimmt sie auf der kompakten Menge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial W_{2}"> ihr Minimum an. Deswegen ist das Minimum <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\min x \partial W_{2} V(x) > \alpha ~ := \beta"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{1} := \{ x \in W_{2}: ~ V(x) < \beta \}"> <br /> <br />Wegen der Stetigkeit von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V"> ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{1}"> eine offene Menge, die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> enthät, also eine Umgebung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> <br /> <br />Zu zeigen bleibt nun noch, dass die für alle Zeiten gilt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{dt} V(\Phi(t)) = \sum\limits_{j=1}^{N} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} (\Phi(t)) \cdot \frac{d\Phi_{j}}{dt}(t)"> <br /> <br />Hier hat es bei diesem Schritt bei mir ausgeschalten <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> Was ist da passiert? Wieso bildet man plötzlich die Komposition aus V und Phi? <img src="images/smiles/help.gif" alt="Hilfe" border="0" /> Das er es nach der Zeit ableitet ist ja klar, aber warum diese Verkettung... <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Danke für Hilfe <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br />Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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