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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Senate</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2009 15:15<span class="gen"> </span> Titel: Störungstheorie</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In dieser Aufgabe sollen die drei Lösungen der Gleichung <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^{3} - 4.001 x + 0.002 = 0 (1)"> <br />bestimmt werden. Dazu führen wir einen Hilfsparameter <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon > 0"> ein, so dass (1) als Spezialfall der Gleichung <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^{3} - (4 + \epsilon ) x + 2 \epsilon = 0 (2)"> <br />für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon = 0,001 "> enthalten ist. Im Folgenden soll nun (2) für beliebige, kleine <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon"> mit Hilfe des Ansatzes <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x(\epsilon) = \sum^\infty_{n=0} a_{n} \epsilon^{n}"> gelöst werden. <br /> <br />(a) Setzen Sie den Ansatz in (2) ein. Berücksichtigen Sie dabei nur Terme propotional zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^{0}"> ,<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^{1}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^{2}">. <br />(b) Überlegen Sie sich, dass Sie damit drei Gleichungen für die Bestimmung der Koeffizienten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{0}"> , <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{1}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{2}"> erhalten. <br />(c) Bestimmen Sie die drei Lösungen für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{0}"> aus der ersten Gleichung (welche alle Terme proportional zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^{0}"> enthält). <br />(d) Bestimmen Sie für alle drei Lösungen aus (c) jeweils die Koeffizienten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{1}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{2}"> . <br />(e) Bestimmen Sie die Näherungslösungen von (1) indem Sie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon = 0,001 "> in die drei <br />in (d) erhaltenen Lösungen einsetzen. Vergleichen Sie mit dem exakten Ergebnis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_1 = - 2.0005"> ,<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x_2 = 0.000499875 "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x_3 = 2 ">. <br />(f ) Bestimmen Sie die Näherungslösungen von (2) für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon = 0,1 "> und vergleichen Sie mit <br />dem exakten Ergebnis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_1 = - 2.04881"> ,<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x_2 = 0.0488088 "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x_3 = 2">. <br />Hinweis zu (b): Bedenken Sie, dass (2) für alle <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon"> erfüllt sein muss. <br /> <br />Also mein Problem bei der ganzen Sache ist, dass ich mit a) und b) nicht zurecht komme, kann mir da vielleicht einer helfen? Danke schon mal im Voraus</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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