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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DerDepp</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Nov 2011 11:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hossa <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />Die Bewegungsgleichung ist das zweite Newton'sche Axiom. Die Gesamtkraft, die auf ein Objekt wirkt, ist gleich der Ableitung des Impules: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec F_{\mbox{ges.}}=\frac{d}{dt}\left(m\vec v\right)"> <br /> <br />Hier handelt es sich konkret um ein 1-dimensionales Problem, bei dem die Bewegungsgleichung für das herunterhängende Seilstück der Länge x gesucht ist. Die Masse m des Seils ist zeitlich konstant, so dass sich die Bewegungsgleichung als "Masse mal Beschleunigung" schreiben lässt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mbox{ges.}}=m\ddot x"> <br /> <br />Nun müssen alle Kräfte bestimmt werden, die auf das Seil wirken. Dabei hilft die Massen"dichte" rho. Das Seil wiegt m=800kg und ist L=50m lang: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho=\frac{m}{L}=16\,\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}}"> <br /> <br />Da x die Länge des Seilstücks ist, das bereits herunter hängt, zieht die Gewichtskraft dieses Seilstücks das gesamte Seil nach unten. Seine Masse ist rho*x und damit gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mbox{Gewicht}}=\rho x g=mg\,\frac{x}{L}"> <br /> <br />Das Stück (L-x) liegt noch auf dem Schiff und trägt nicht zur Beschleunigung bei. Dafür erfährt es die Gleitreibungskraft als "Bremskraft". Seine Masse ist rho*(L-x). Die Gleitreibungskraft ist proportional zur Normalkraft, die senkrecht auf die Gleitebene wirkt. Also gilt mit dem Gleitreibungskoeffizienten mu: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mbox{Reibung}}=-\mu\,\rho(L-x)\,g=-\mu\,mg\left(1-\frac{x}{L}\right)"> <br /> <br />Das Minuszeichen bedeutet, dass die Reibungskraft der Gewichtskraft entgegen wirkt. Die Bewegungsgleichung lautet zusammengebaut: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot x=F_{\mbox{ges.}}=F_{\mbox{Gewicht}}+F_{\mbox{Reibung}}=mg\,\frac{x}{L}-\mu\,mg\left(1-\frac{x}{L}\right)=(1+\mu)mg\frac{x}{L}-\mu mg"> <br /> <br />Diese lässt sich noch etwas umformen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot x-(1+\mu)\frac{g}{L}\,x+\mu g=0"> <br /> <br />Aus der Information, dass das Seil bei x=L/3 zu rutschen beginnt, lässt sich noch der Gleitreibungskoeffizient berechnen. Für dieses x muss der Betrag der Gewichtskraft gerade so groß sein wie derjenige der Reibungskraft: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?mg\frac{1}{3}=\mu mg\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad\mu=\frac{1}{2}"> <br /> <br />Damit ergibt sich als Differentialgleichung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot x-\frac{3g}{2L}\,x+\frac{g}{2}=0"> <br /> <br />mit den Randbedingungen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t=0)=\frac{L}{3}\quad;\quad x_{\mbox{max}}=L"> <br /> <br />Viele Grüße <br /> <br />Der Depp</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Socius</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Nov 2011 17:38<span class="gen"> </span> Titel: Aufstellen einer Bewegungsgleichung und Verständniss Frage</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo, ich habe ein Problem mit Bewegungsgleichungen. Ich verstehe nich wie man so eine aufstellt und was diese genau aussagen soll. In meiner Aufgabe soll ein Seil von einem Schiff rutschen Masse m=800kg und Länge L=50m, es hängt bereits d=L/3 über den Boardrand hinaus, sodass es zum Zeitpunkt t=o zu rztschen beginnt. Der Gleitreibungskoeffizient is my und die Seildehnung vernachlässigbar.<br />Ich hoffe mir kann geholfen werden, danke schon mal im Vorraus.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />ich hab leider gar keine Ahnung <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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