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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2011 21:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was ist an <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}_S = \int_\text{Vol} dV\,\vec{r}\,\mu(\vec{r})"> <br /> <br />schlecht? <br /> <br />Und was an <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}_S = \int_\text{Vol} d\mu\,\vec{r}"> <br /> <br />gut? oder besser?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>fuss</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2011 20:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@DerDepp: Da kommt in den Zähler aber noch ne 4, oder? <br /> <br />Grafisch kannst du dir die Differentialtransformation so veranschaulichen, dass r d(phi) ein differenzieller Kreisbogen ist (Radius mal Winkel ergibt Umfang des Kreisbogens); multipliziert mit dr ergibt das dann sozusagen die differentielle Fläche so eines kleinen Kreisbogenstreifens. <br /> <br />Bezogen auf deinen ersten Beitrag: ich denke dein Fehler ist hier, dass dA nicht dxdy ist, sondern eben die Fläche so eines differentiellen Streifens (wie in der Abbildung) : dA= 2* Wurzel(R² - y²)*dy , wobei das 2*Wurzel(R² - y²) die Länge des Streifens bei der Höhe y ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mickey_D_Blue</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2011 18:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mathematisch ist es mir bis auf die Differential-Transformation (weil nicht im Repertoire) einleuchtend. <br />Nur Graphisch happerts jetzt an allen Ecken. <br />Außerdem möchte ich nicht die Dimension wechseln und die Möglichkeit mit Rho ist mir zwar bekannt, bei meinem Prof aber unbeliebt, deshalb "Vermeidungswunsch" . . . (Um es milde auszudrücken) <br /> <br />Ich denke, Bilder helfen immer: <br /><a href="http://imageshack.us/f/64/p1040405h.jpg/" target="_blank" class="postlink">http://imageshack.us/f/64/p1040405h.jpg/</a> <br /> <br />Hier sind Polarkoordinaten völliger Schwachsinn (oder lieg ich da falsch?)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DerDepp</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2011 17:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hossa <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />Wir haben: Halbkreisförmiges Bleich, Radius R, Masse M. <br />Wir suchen: Schwerpunkt S <br /> <br />Bei homogen verteilter Masse innerhalb der Halb-Scheibe ist die Massendichte rho konstant und unabhängig von der Position (x,y) auf der Scheibe: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho(x,y)=\frac{M}{\frac{1}{2}\pi R^2}=:\rho_0"> <br /> <br />Innerhalb der kleinen Rechteck-Fläche ABCD mit den Punkten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A(x;y)\,,\,B(x+\Delta x;y)\,,\,C(x+\Delta x;y+\Delta y)\,,\,D(x;y+\Delta y)"> <br /> <br />befindet sich dann die Masse <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta m=\rho_0\,\Delta x\,\Delta y\quad\Rightarrow\quad dm=\rho_0\,dx\,dy"> <br /> <br />Die Formel für den Schwerpunkt lautet damit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec S=\frac{1}{M}\,\int\limits_{\mbox{Masse}}\vec r\,dm=\frac{1}{M}\int\limits_{\mbox{Flaeche}}\vec r\rho_0\,dx\,dy=\frac{2}{\pi R^2}\int\limits_{\mbox{Flaeche}}\vec r\,dx\,dy"> <br /> <br />Legen wir das Blech mit der geraden Seite symmetrisch auf die x-Achse, so läuft bei der Integration die Variable x von -R bis +R und die Variable y von 0 und +R. Um diese Fläche mit dem Vektor r "abzutasten" empfiehlt sich der Wechsel von kartesichen Koordinaten zu Polarkoordinaten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\binom{x}{y}\to \binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad\mbox{mit}\quad r\in[0;R]\;,\;\varphi\in[0,\pi]"> <br /> <br />Der Winkel phi in dieser Parametrisierung läuft nur bis Pi, weil es sich um eine halbe Scheibe handelt. Nun müssen nur noch die Differentiale transformiert werden: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dx\,dy=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\,dr\,d\varphi=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}\end{array}\right|\,dr\,d\varphi=\left|\begin{array}{cc}\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right|\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi"> <br /> <br />Damit sind wir so gut wie fertig: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec S=\frac{2}{\pi R^2}\int\limits_0^Rdr\int\limits_0^\pi d\varphi\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\,r=\frac{2}{\pi R^2}\int\limits_0^Rr^2\,dr\int\limits_0^\pi\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}\,d\varphi=\frac{2}{\pi R^2}\,\frac{R^3}{3}\,\binom{0}{2}"> <br /> <br />Der Schwerpunkt befindet sich also bei: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec S=\frac{4R}{3\pi}\vec e_y"> <br /> <br />Ok?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2011 16:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Polarkoordinaten sollten Abhilfe schaffen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mickey_D_Blue</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Dez 2011 15:31<span class="gen"> </span> Titel: Schwerpunktsberechnung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Aufgabe lautet wie folgt: <br /> <br />Wo liegt der Schwerpunkt eines halbkreisförmigen Bleches mit Radius R. <br />Die Berechnung ist mit Zerlegung in Scheiben, in Kreisbögen, sowie mit Kreissegmenten durchzuführen. <br /> <br />Mein Grundansatz besteht aus der Formel (Nutze Symmetrie): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_R^R \! y \, \dd m"> (Die untere Grenze des Int ist immer mit einem Minus behaftet, habs nur nicht geschafft zu Konvertieren) <br /> <br />Jetzt scheitere ich bei den ersten beiden immer an der Paramtrisierung. <br />Bei Scheiben: <br />Stelle Auf: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dm}{dA}"> = <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{M}{A}"> => dm = <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{M}{0,5R²*Pi}">dxdy <br /> <br />Das heißt mein Integral lautet wie folgt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_R^R \! y \, \ \frac{M}{0,5R²*Pi}dxdy "> <br /> <br />Jetzt weiß ich nciht weiter, da ich dx nicht anders ausdrücken kann. Ist also ne Sackgasse. Aber anders kommt es mir nicht in den Sinn. <br />Was muss ich beachten? <br />Wie komme ich auf den richtigen Weg? <br /> <br />Bei Kreisbögen Analog: <br /> <br />Danke im Voraus![/latex]</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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